Livro interativo de matrizes

7. Determinantes

7.5 Matriz Adjunta e Matriz Inversa (vídeo)

Definição: Dada $A=[a_{ij}]_{n\times n}$, a matriz dos complementos algébricos de $A$ denota-se por $A^c$ e é a matriz $n\times n$ cujo elemento $(i, j)$ é $(-1)^{i+j}|A_{ij}|$. A matriz $\left(A^c\right)^T$ chama-se matriz adjunta de $A$ e denota-se por $Adj(A)$.

Teorema

Dada $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ invertível

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}Adj(A).\]


Vídeo Exemplo

Determinemos a inversa de $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & { - 1} & 3 \\
0 & { - 3} & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{array}} \right]$.

A matriz dos complementos algébricos é

${A^c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3} & 0 \\
1 & 2 \\
\end{array}} \right|} & { - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 0 \\
1 & 2 \\
\end{array}} \right|} & {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & { - 3} \\
1 & 1 \\
\end{array}} \right|} \\
{ - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1} & 3 \\
1 & 2 \\
\end{array}} \right|} & {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 \\
1 & 2 \\
\end{array}} \right|} & { - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & { - 1} \\
1 & 1 \\
\end{array}} \right|} \\
{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1} & 3 \\
{ - 3} & 0 \\
\end{array}} \right|} & { - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 \\
0 & 0 \\
\end{array}} \right|} & {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & { - 1} \\
0 & { - 3} \\
\end{array}} \right|} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6} & 0 & 3 \\
5 & 1 & { - 3} \\
9 & 0 & { - 6} \\
\end{array}} \right]$

e

$Adj(A) = {\left( {{A^c}} \right)^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6} & 5 & 9 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & { - 3} & { - 6} \\
\end{array}} \right].$

Como $|A|=-3$ então $A^{-1}=\frac{1}{|A|}Adj(A)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & { - \frac{5}{3}} & { - 3} \\ 0 & { - \frac{1}{3}} & 0 \\ { - 1} & 1 & 2 \\ \end{array}} \right].$