Livro interativo de matrizes

6. Sistemas de Equações Lineares

● Exemplos (3 vídeos)


Vídeo Exemplo 1:

Considere o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com \[A= \left[\begin{array}{ccc} -8 & -1 & 5 \\ -24 & 1 & -1 \\ -16 & -2 & 6 \\ \end{array}\right] \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\quad \mathrm{e} \quad \mathbf{b}= \left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right] .\]

Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss.

Resolução:

Aplicando o Método de Eliminação de Gauss ao sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ obtemos:


\[\begin{array}{l} \left[ {A|b} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { -8 } & { -1 } & { 5 } & | & { -1 } \\ { -24 } & { 1 } & { -1 } & | & { 1 } \\ { -16 } & { -2 } & { 6 } & | & { 1 } \\ \end{array}} \right]\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{*{20}c} L_2 \to L_2 -3\times L_1 \\ L_3 \to L_3-2\times L_1 \\ \end{array}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} { -8 } & { -1 } & { 5 } & | & { -1 } \\ { 0 } & { 4 } & { -16 } & | & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { -4 } & | & { 3 } \\ \end{array}} \right] \\ \\ \end{array} \]

O sistema equivalente é definido por: \[ \left\{ \begin{array}{l} -8 x -y + 5z = -1 \\ 4 y -16z = 4 \\ -4 z = 3 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x= -\frac{3}{32} \\ y= -2 \\ z= -\frac{3}{4} \\ \end{array} \right. \] Deste modo, conclui-se que o sistema é possível e determinado, sendo o seu conjunto solução dado por $\{( -\frac{3}{32} , -2 , -\frac{3}{4} )\}$.


Vídeo Exemplo 2:
Considere o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com

$A= \left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -1 \\ 4 & -4 & 8 \\ 2 & -6 & 9 \\ \end{array}\right] \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\quad \mathrm{e} \quad \mathbf{b}= \left[\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array}\right] .$



Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss.

Resolução:
Aplicando o Método de Eliminação de Gauss ao sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ obtemos:

$\begin{array}{l} \left[ {A|b} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 2 & { 2 } & { -1 } & | & { -1 } \\ 4 & { -4 } & { 8 } & | & { 3 } \\ 2 & { -6 } & { 9 } & | & { 4 } \\ \end{array}} \right] {\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{l} {L'_2 \to L_2 -2\times L_1} \\ {L'_3 \to L_3- L_1} \\ \end{array}}} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} 2 & 2 & -1 & | & -1 \\ 0 & -8 & 10 & | & 5 \\ 0 & -8 & 10 & | & 5 \\ \end{array}} \right]} \\ {\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{*{20}c} {L'_3 \to L_3 -L_2} \\ \end{array}}} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} { 2 } & { 2 } & { -1 } & | & { -1 } \\ { 0 } & { -8 } & { 10 } & | & { 5 } \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{array}} \right]} \\ \end{array} $

O sistema equivalente é definido por:

${\left\{\begin{array}{l} 2x+2y-z=-1 \\ -8y+10z=5 \\ 0=0 \\ \end{array} \right.}{\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x+2y+1 \\ -8y+20x+20y+10=5 \\ \end{array} \right.}$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x+2\left(-\frac{5}{3}x-\frac{5}{12}\right)+1 \\ y=-\frac{5}{3}x-\frac{5}{12} \\ \end{array} \right.}{\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{6} \\ y=-\frac{5}{3}x-\frac{5}{12} \\ \end{array} \right.}$

Deste modo, conclui-se que o sistema é possível e indeterminado, sendo o seu conjunto solução dado por $\{\left(x, -\frac{5}{3}x-\frac{5}{12} , -\frac{4}{3}x+\frac{1}{6}\right),\;x\in\mathbf{R}\}$

Vídeo Exemplo 3:

Considere o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com
$A= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array}\right] \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\quad \mathrm{e} \quad \mathbf{b}= \left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 5 \\ \end{array}\right].$

Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss.

Resolução:
Aplicando o Método de Eliminação de Gauss ao sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ obtemos:

$\begin{array}{l} \left[ {A|b} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { -1 } & { 2 } & | & { 4 } \\ 2 & { 3 } & { -1 } & | & { 0 } \\ 3 & { 2 } & { 1 } & | & { 5 } \\ \end{array}} \right] {\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{l} {L'_2 \to L_2 -2\times L_1} \\ {L'_3 \to L_3-3L_1} \\ \end{array}}} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 5 & {-5} & | & {-8} \\ {0} & {5} & {-5} & | & {-7} \\ \end{array}} \right]} \\ {\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{*{20}c} {L'_3 \to L_3 -L_2} \\ \end{array}}} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} {1} & {-1} & {2} & | & {4} \\ { 0 } & {5} & {-5} & | & {-8} \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{array}} \right]} \\ \end{array} $


O sistema equivalente é definido por:

$\left\{\begin{array}{l} x-y+2z=4 \\ 5y-5z=-8 \\ 0=1 \\ \end{array} \right.$

Deste modo, conclui-se que o sistema é impossível, sendo o seu conjunto solução o conjunto vazio.

Para visualizar um vídeo com uma explicação clique na imagem seguinte.

No final do processo de condensação de Gauss aplicado a um sistema $A_{m\times n}X=b$ podemos deparar-nos com diversas situações que vão definir a respetiva classificação do sistema:

i) se $car(A)<car([A|b])$ então o sistema é impossível;

ii) se $car(A)=car([A|b])=n$ então o sistema é possível determinado;

iii) se $car(A)=car([A|b])<n$ então o sistema é possível indeterminado.


Exemplo:

i) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 0 & | & 5 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
0 = 5 \\
\end{array} \right.$.

Da condição $0=5$ resulta que o sistema é impossível e $S=\emptyset $. Notemos que como $car(A)=2$ e $car([A|b])=3$ então $car(A)<car([A|b])$.

ii) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 5 & | & 5 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
5z = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 10 \\
y = 7 \\
z = 1 \\
\end{array} \right.$.

Deste modo, o sistema é possível determinado e $S=\{(-10,7,1)\}$. Notemos que $car(A)=car([A|b])=3$.

iii) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
0 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 13 - 7z \\
y = 5 + 2z \\
0= 0 \\
\end{array} \right.$.

Notemos que como $car(A)=2$ e $car([A|b])=2$ então $car(A)=car([A|b])<3$. Consequentemente, o sistema é possível indeterminado e $S=\{(-13-7z,5+2z,z),z\in\mathbb{R}\}$.