Livro interativo de matrizes

7. Determinantes

7.1 Permutações e termo com sinal

Definições

Uma permutação do conjunto $S=\{1,2,\ldots,n\}$ é uma sequência $\left(\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_n\right)$ de $n$ elementos distintos de $S$. Designa-se por $S_n$ o conjunto de todas as permutações do conjunto $S$. Assim, $S_n$ tem $n!=n\times (n-1)\times \ldots \times 2 \times 1$ elementos.

Dada uma permutação $\sigma$, denominamos por inversão, uma permutação que resulta de $\sigma$ pela troca de dois elementos consecutivos.

Exemplo:

Dado $S=\{1,2,3,4\}$, $\sigma=(2341)$ é uma permutação de $S$ e $(2431)$ é o exemplo de uma inversão de $\sigma$.

Definições

Uma permutação $\sigma\in S_n$ diz-se par (ímpar) se resultar da permutação $(12\ldots n)$ através de uma sequência par (ímpar) de inversões.

O sinal de $\sigma$ é $sgn(\sigma)=1$ se a permutação for par e $sgn(\sigma)=-1$ se a permutação é ímpar.

Exemplos

1) Como $(1234)\to (2134)\to (2314)\to (2341)$ podemos concluir que $(2341)$ é uma permutação ímpar de $S_4$.

2) Como $(12345)\to (12435)\to (21435)\to (21453)\to (24153) $ podemos concluir que $(24153)$ é uma permutação par de $S_4$.


Na prática, podemos determinar a paridade de uma permutação $\left(\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_n\right)\in S_n$ utilizando o seguinte algoritmo:

i) para cada $k=1,\ldots,n$ calculamos o número $s_k$ de elementos à direita de $\sigma_k$ e inferiores a $\sigma_k$ ;

ii) calculamos $s=\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{s_k}}$;

iii) a paridade de $s$ é a mesma que da permutação.


Exemplos:

1) $(32451)$ é uma permutação ímpar de $S_5$ porque $s=s_1+s_2+s_3+s_4=2+1+1+1=5$.

2) $(263451)$ é uma permutação par de $S_6$ porque $s=s_1+s_2+s_3+s_4+s_5=1+4+1+1+1=8$.