Livro interativo de matrizes

6. Sistemas de Equações Lineares

6.3 Discussão de sistemas de equações lineares

No final do processo de condensação de Gauss aplicado a um sistema $A_{m\times n}X=b$ podemos deparar-nos com diversas situações que vão definir a respetiva classificação do sistema:

i) se $car(A)<car([A|b])$ então o sistema é impossível;

ii) se $car(A)=car([A|b])=n$ então o sistema é possível determinado;

iii) se $car(A)=car([A|b])<n$ então o sistema é possível indeterminado.


Exemplo:

i) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 0 & | & 5 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
0 = 5 \\
\end{array} \right.$.

Da condição $0=5$ resulta que o sistema é impossível e $S=\emptyset $. Notemos que como $car(A)=2$ e $car([A|b])=3$ então $car(A)<car([A|b])$.

ii) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 5 & | & 5 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
5z = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 10 \\
y = 7 \\
z = 1 \\
\end{array} \right.$.

Deste modo, o sistema é possível determinado e $S=\{(-10,7,1)\}$. Notemos que $car(A)=car([A|b])=3$.

iii) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
0 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 13 - 7z \\
y = 5 + 2z \\
0= 0 \\
\end{array} \right.$.

Notemos que como $car(A)=2$ e $car([A|b])=2$ então $car(A)=car([A|b])<3$. Consequentemente, o sistema é possível indeterminado e $S=\{(-13-7z,5+2z,z),z\in\mathbb{R}\}$.