Livro interativo de matrizes

3. Independência Linear

3.1 Característica de uma Matriz (vídeo)

Definição (Característica de uma matriz)

Designa-se por característica da matriz $A$ e representa-se por $car(A)$ ou $r(A)$, o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.

Definição (Matriz escalonada por linhas)

Diz-se que a matriz $A$ está na forma escalonada por linhas ou na forma de escada de linhas quando tiver as seguintes características:

• se houver linhas nulas, elas situam-se abaixo das linhas não nulas;

• o primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da primeira) situa-se à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior.


O primeiro elemento não nulo de cada linha designa-se por pivot ou elemento redutor.

Vídeo Exemplo:

As matrizes seguintes estão na forma escalonada por linhas

$A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{1} & 3 & 2 \\
0 & \color{blue}{5} & 4 \\
0 & 0 & \color{blue}{8} \\
\end{array}} \right]$, $B=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{1} & 3 & 5 & 5 \\
0 & \color{blue}{5} & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & \color{blue}{1} \\
\end{array}} \right]$, $C=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{2} & 1 & 3 & 5 \\
0 & \color{blue}{3} & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}} \right]$, $D=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{1} & 5 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}} \right].$

Os pivots das matrizes estão a cor azul.

Teorema

Se a matriz $A$ está na forma escalonada por linhas, então a sua característica é igual ao número de pivots.

Definição

Designam-se por operações elementares sobre linhas (colunas) de uma matriz $A$, às seguintes operações:

• a troca da linha (coluna) $i$ pela linha (coluna) $j$ e denota-se por $L_i \leftrightarrow L_j$ ($C_i \leftrightarrow C_j$).

• a multiplicação da linha (coluna) $i$ por um escalar $\alpha$ não nulo e denota-se por $L_i \rightarrow \alpha L_j$ ($C_i \rightarrow \alpha C_j$).

• a adição aos elementos da linha (coluna) $j$ de $\alpha$ vezes os elementos correspondentes da linha (coluna) $i$ e denota-se por $L_j \rightarrow L_j+ \alpha L_i$ ($C_j \rightarrow C_j + \alpha C_i$).

Teorema

A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriz não é alterada por qualquer uma das operações elementares.

Teorema

Se $B$ é uma matriz que se obtém de $A$ usando operações elementares então $car(B) = car(A)$.