Índice de Análise Matemática

Considere a região, a sombreado na figura, limitada superiormente pela reta $CD$ e inferiormente pelo gráfico da função definida por $f(x)=x^2$.

Consideremos os pontos $A\left(x_A,0\right)$, $B\left(x_B,0\right)$, $C\left(x_A, f\left(x_A\right)\right)$ e $D\left(x_B, f\left(x_B\right)\right)$.
A reta $CD$ é paralela à reta tangente ao gráfico de $y=1$ no ponto de abcissa $\frac{x_A+x_B}{2}$ (abcissa do ponto médio de $[AB]$) e a distância $\overline {AB}$ é constante.
Uma propriedade das parábolas garante que a área sombreada depende apenas de $\overline {AB}$.
Pode observar essa propriedade se arrastar o ponto $A$ com o botão esquerdo do rato.

Calcule a medida da área sombreada.

Resposta:

$\displaystyle \int\limits_{-1}^{1} 1-x^2\; dx = \left[ x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = 1-\frac{1^3}{3}-\left(-1-\frac{(-1)^3}{3}\right)=\frac{4}{3}$