Índice de Análise Matemática

Neste capítulo introduziremos a noção de integral definido cuja origem foi a formalização matemática da ideia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções. Sem a introdução deste conceito ficaríamos limitados a pouco mais do que o cálculo de áreas de regiões do plano limitadas por segmentos de retas tais como retângulos, triângulos ou composições destes. Como motivação, começaremos com um problema.

Problema:
Como calcular a área da região do plano limitada pelo gráfico da função definida por $y=3x-x^2$ e pelo eixo dos $xx$?

Esboço da resolução:
Para calcular a área da região compreendida entre o gráfico da curva definida por $y=3x-x^2$ e o eixo dos $xx$ ilustrada na applet seguinte, podemos inscrever retângulos de largura cada vez menor e somar a medida das suas áreas. Arrastando com o botão esquerdo do rato o seletor relativo ao $n$ pode variar o número de retângulos e concluir que a qualidade da aproximação aumenta com o valor de $n$. É claro que a soma das áreas dos retângulos nunca se ajusta completamente à figura, por mais retângulos que se considerem. Teoricamente falando, seriam necessários infinitos retângulos para o ajustamento ser perfeito. Na secção seguinte apresentamos a solução exata deste problema.