Livro interativo de matrizes
7. Determinantes
7.4 Teorema de Laplace (vídeo)
Vamos agora estudar uma fórmula que nos permite reduzir o cálculo de um determinante de ordem $n$ ao cálculo de $n$ determinantes de ordem $n-1$. Esta fórmula pode ser particularmente útil se uma das linhas ou das colunas da matriz tiver muitos zeros.
| Definição: Seja $A = [a_{ij} ]_{n\times n}$. Chama-se complemento algébrico de um elemento $a_{ij}$ de $A$ a $(-1)^{i+j}|A_{ij}|$, onde $A_{ij}$ designa a submatriz de $A$ obtida por supressão da linha $i$ e da coluna $j$. |
O teorema seguinte permite calcular o determinante de uma matriz de uma ordem qualquer.
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Teorema (Teorema de Laplace) O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha pelos respectivos complementos algébricos, isto é, sendo $A = [a_{ij}]_{n\times n}$, tem-se \[|A| = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{{( - 1)}^{i + j}}|{A_{ij}}|} \] para qualquer $i\in\{1,\ldots, n\}$. O mesmo vale para colunas, ou seja, \[|A| = \sum\limits_{i= 1}^n {{a_{ij}}{{( - 1)}^{i + j}}|{A_{ij}}|} \] para qualquer $j\in\{1,\ldots, n\}$. |
Exemplo
$\begin{array}{l}
\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & { - 3} & 0 \\
2 & 4 & 5 \\
{ - 1} & { - 2} & 1 \\
\end{array}} \right| = 1{( - 1)^{1 + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4 & 5 \\
{ - 2} &
1 \\
\end{array}} \right| + ( - 3){( - 1)^{1 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 5 \\
{ - 1} & 1 \\
\end{array}} \right| + 0{( - 1)^{1 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 4 \\
{ - 1} & { - 2} \\
\end{array}}
\right| \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = 4 + 10 + 3(2 + 5) = 35. \\
\end{array}$