Livro interativo de matrizes
4. Inversa de uma matriz
4.1 Cálculo da inversa de uma matriz usando a condensação (3 vídeos)
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Algoritmo (Cálculo da Inversa de uma matriz usando a condensação) Seja $A_n$ uma matriz invertível. Para obter a inversa de $A$ devemos seguir os seguintes passos: 1. colocam-se lado a lado as matrizes $A_n$ e $I_n$ $\left(\left[A_n|I_n\right]\right)$; 2. vão-se efectuando simultaneamente sobre as linhas de $A_n$ e de $I_n$ as mesmas operações elementares; 3. quando do lado esquerdo se obtiver a matriz $I_n$ então do lado direito estará a matriz $A^{−1}$. |
Exemplo 1:
Vamos fazer o cálculo da inversa de uma matriz $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}} \right]$ usando a condensação.
${
\begin{array}{*{10}l} \left[ {\begin{array}{ccccccc} 1 & { 1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ 1 & { 0 }& { 0 } & | & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 }& { 1 } & | & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] {\overrightarrow {\tiny L'_2 \to L_2 - L_1 }} \left[ {\begin{array}{*{10}c} 1 & { 1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & {-1} & { 0 } & | & { -1 } & { 1 } & { 0 } \\ 1 & { 1 }& { 1 } & | & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] \\ \\
{\overrightarrow {\tiny \begin{array}{*{10}c} {L'_3 \to L_3-L_1} \\ \end{array} }}
\left[ \begin{array}{*{10}c} { 1 } & { 1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { -1 }& { 0 } & | & { -1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 1 } & | & { -1 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right] \overrightarrow {\tiny \begin{array}{l} {L'_1 \to L_2+L_1}\\{L'_2\rightarrow -L_2} \\ \end{array} } \left[ \begin{array}{*{20}c} { 1 } & {0 } & { 0 } & | & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & {1}& { 0 } & | & {1} & {-1} & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 1 } & | & { -1} & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right] \\ \\ \\ \end{array} }$
Podemos assim concluir que $A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] .$
Para visualizar um vídeo com uma explicação clique na imagem seguinte.
Exemplo 2:
Vamos fazer o cálculo da inversa de uma matriz $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 1} \\ { - 1} & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ \end{array}} \right]$ usando a condensação. \[ \begin{array}{*{20}l} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & { 2 } & { -1 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { -1 } & { 1 }& { 1 } & | & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 4 }& { 1 } & | & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] \overrightarrow {\scriptsize L_2 \to L_2 - \left( -1 \right) \times L_1 } \left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & { 2 } & { -1 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 }& { 0 } & | & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 4 }& { 1 } & | & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] } \\ { \begin{array}{c} \end{array} }\\ \\ { }\\ {\overrightarrow {\scriptsize L_3 \to L_3-2\times L_1 } \left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & { 2 } & { -1 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 }& { 0 } & | & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 3 } & | & { -2 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] \overrightarrow {\tiny \begin{array}{*{20}c} {L_1\to 1 \times L_1} \\ {L_2\to \frac{1}{3} \times L_2} \\ {L_3\to \frac{1}{3} \times L_3} \\ \end{array} } \left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & { 2 } & { -1 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 }& { 0 } & | & { \frac{1}{3} } & { \frac{1}{3} } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 1 } & | & { -\frac{2}{3} } & { 0 } & { \frac{1}{3} } \\ \end{array} } \right]} \\ { }\\ { \begin{array}{c} \end{array} }\\ {\overrightarrow {\scriptsize {L_1 \to L_1-2L_2}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & { 0 } & { -1 } & | & { \frac{1}{3} } & { -\frac{2}{3} } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 }& { 0 } & | & { \frac{1}{3} } & { \frac{1}{3} } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 1 } & | & { -\frac{2}{3} } & { 0 } & { \frac{1}{3} } \\ \end{array} } \right] \overrightarrow {\scriptsize L_1 \to L_1 - ( -1 )\times L_3 } \left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & { 0 } & { 0 } & | & { -\frac{1}{3} } & { -\frac{2}{3} } & { \frac{1}{3} } \\ { 0 } & { 1 }& { 0 } & | & { \frac{1}{3} } & { \frac{1}{3} } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 1 } & | & { -\frac{2}{3} } & { 0 } & { \frac{1}{3} } \\ \end{array} } \right] } \\ \end{array} \] Podemos assim concluir que $A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \end{array}\right] .$
Exemplo 3:
Vamos fazer o cálculo da inversa de uma matriz $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{array}} \right]$ usando a condensação.
$
\begin{array}{*{10}l} \left[ {\begin{array}{ccccccc} 1 & { 1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ 1 & { 0 }& { 0 } & | & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } & | & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] {\overrightarrow {\tiny L'_2 \to L_2 - L_1 }} {\left[ {\begin{array}{*{10}c} 1 & { 1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & {-1}& { 0 } & | & { -1 } & { 1 } & { 0 } \\ 2 & { 1 }& { 0 } & | & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right]} \\ \\
{\overrightarrow {\tiny L'_3 \to L_3-2L_1 }}
\left[ {\begin{array}{*{10}c} { 1 } & { 1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { -1 }& { 0 } & | & { -1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { -1 }& { 0 } & | & { -2 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} } \right] {\overrightarrow {\tiny \begin{array}{*{10}c} {L'_3\to L_3-L_2} \\ \end{array} }} \left[ {\begin{array}{*{20}c} { 1 } & {1 } & { 0 } & | & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & {-1}& { 0 } & | & {-1} & {1} & { 0 } \\ { 0 } & { 0 }& { 0 } & | & { -1} & { -1 } & { 1 } \\ \end{array} } \right]\\ \\ \\ \end{array} $
Como $car(A)=2<3$, podemos concluir que não existe inversa.