Livro interativo de matrizes
6. Sistemas de Equações Lineares
● Exemplos (3 vídeos)
Exemplo 1:
Considere o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com \[A= \left[\begin{array}{ccc} -8 & -1 & 5 \\ -24 & 1 & -1 \\ -16 & -2 & 6 \\ \end{array}\right] \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\quad \mathrm{e}
\quad \mathbf{b}= \left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right] .\]
Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss.
Resolução:
Aplicando o Método de Eliminação de Gauss ao sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ obtemos:
Exemplo 2:
Considere
o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com
Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss.
Resolução:
Aplicando o Método de Eliminação de Gauss ao sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ obtemos:
$\begin{array}{l} \left[ {A|b} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 2 & { 2 } & { -1 } & | & { -1 } \\ 4 & { -4 } & { 8 } & | & { 3 } \\ 2 & { -6 } & { 9 } & | & { 4 } \\ \end{array}} \right] {\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{l} {L'_2 \to L_2 -2\times L_1} \\ {L'_3 \to L_3- L_1} \\ \end{array}}} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} 2 & 2 & -1 & | & -1 \\ 0 & -8 & 10 & | & 5 \\ 0 & -8 & 10 & | & 5 \\ \end{array}} \right]} \\ {\overrightarrow {\;\scriptsize\begin{array}{*{20}c} {L'_3 \to L_3 -L_2} \\ \end{array}}} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} { 2 } & { 2 } & { -1 } & | & { -1 } \\ { 0 } & { -8 } & { 10 } & | & { 5 } \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{array}} \right]} \\ \end{array} $
O sistema equivalente é definido por:
${\left\{\begin{array}{l} 2x+2y-z=-1 \\ -8y+10z=5 \\ 0=0 \\ \end{array} \right.}{\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x+2y+1 \\ -8y+20x+20y+10=5 \\ \end{array} \right.}$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x+2\left(-\frac{5}{3}x-\frac{5}{12}\right)+1 \\ y=-\frac{5}{3}x-\frac{5}{12} \\ \end{array} \right.}{\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{6} \\ y=-\frac{5}{3}x-\frac{5}{12}
\\ \end{array} \right.}$
Deste modo, conclui-se que o sistema é possível e indeterminado, sendo o seu conjunto solução dado por $\{\left(x, -\frac{5}{3}x-\frac{5}{12} , -\frac{4}{3}x+\frac{1}{6}\right),\;x\in\mathbf{R}\}$
Exemplo 3:
Considere o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com
$A= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array}\right] \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\quad \mathrm{e}
\quad \mathbf{b}= \left[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 5 \\ \end{array}\right].$
Resolva o sistema usando o método de eliminação de Gauss.
Resolução:
Aplicando
o Método de Eliminação de Gauss ao sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ obtemos:
O sistema equivalente é definido por:
$\left\{\begin{array}{l} x-y+2z=4 \\ 5y-5z=-8 \\ 0=1 \\ \end{array} \right.$
Deste modo, conclui-se que o sistema é impossível, sendo o seu conjunto solução o conjunto vazio.
Para visualizar um vídeo com uma explicação clique na imagem seguinte.
No final do processo de condensação de Gauss aplicado a um sistema $A_{m\times n}X=b$ podemos deparar-nos com diversas situações que vão definir a respetiva classificação do sistema:
i) se $car(A)<car([A|b])$ então o sistema é impossível;
ii) se $car(A)=car([A|b])=n$ então o sistema é possível determinado;
iii) se $car(A)=car([A|b])<n$ então o sistema é possível indeterminado.
Exemplo:
i) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 0 & | & 5 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
0 = 5 \\
\end{array} \right.$.
Da condição $0=5$ resulta que o sistema é impossível e $S=\emptyset $. Notemos que como $car(A)=2$ e $car([A|b])=3$ então $car(A)<car([A|b])$.
ii) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 5 & | & 5 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
5z = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 10 \\
y = 7 \\
z = 1 \\
\end{array} \right.$.
Deste modo, o sistema é possível determinado e $S=\{(-10,7,1)\}$. Notemos que $car(A)=car([A|b])=3$.
iii) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & 1 & | & 2 \\
0 & 1 & { - 2} & | & 5 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{array}} \right]$ corresponde ao sistema $\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y + z = 2 \\
y - 2z = 5 \\
0 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 13 - 7z \\
y = 5 + 2z \\
0= 0 \\
\end{array} \right.$.
Notemos que como $car(A)=2$ e $car([A|b])=2$ então $car(A)=car([A|b])<3$. Consequentemente, o sistema é possível indeterminado e $S=\{(-13-7z,5+2z,z),z\in\mathbb{R}\}$.