Índice de Álgebra linear

Definição (Condensação de uma matriz) Designa-se por condensação de uma matriz, o processo que consiste em realizar sucessivas operações elementares sobre a matriz, de forma a obter a sua forma escalonada por linhas. A condensação feita por linhas designa-se por condensação horizontal. A condensação feita por colunas designa-se por condensação vertical.

Exemplo 1:

Podemos escalonar a matriz $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{d}}
1 & 3 & { - 2} \\
2 & 1 & 2 \\
{ - 1} & 2 & { - 3} \\
\end{array}} \right]$ na forma seguinte:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & { - 2} \\
2 & 1 & 2 \\
{ - 1} & 2 & { - 3} \\
\end{array}} \right]\overrightarrow {\scriptsize\begin{array}{l}
{L_2'} \to {L_2} - 2{L_1} \\
{L_3'} \to {L_3} + {L_1} \\
\end{array}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & { - 2} \\
0 & { - 5} & 6 \\
0 & 5 & { - 5} \\
\end{array}} \right]\overrightarrow {\scriptsize{L_3'} \to {L_3} + {L_2}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & { - 2} \\
0 & { - 5} & 6 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}} \right].$

A matriz escalonada de $A$ tem três pivots.

Exemplo 2:
Podemos escalonar a matriz $A=\left[ {\begin{array}{ccc}
6 & -1 & {4} \\
3 & 1 & 2 \\
{-2} & 3 & 0 \\
\end{array}} \right]$ na forma seguinte:


$\left[ \begin{array}{ccc}
{6} & -1 & 4 \\
{3} & 1 & 2 \\
{ -2} & 3 & 0 \\
\end{array} \right]\overrightarrow {\scriptsize\begin{array}{l}
{{L'_2} \to {L_2} -\frac{1}{2}{L_1}}\\
{{L'_3} \to {L_3} + \frac{1}{3}{L_1}}\\
\end{array}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{6} & {-1} & {4} \\
{0} & {\frac{3}{2}} & {0} \\
{0} & {\frac{8}{3}} & {\frac{4}{3}} \\
\end{array}} \right]$

$\overrightarrow {\scriptsize\begin{array}{l}
{{L'_2} \to {2L_2}}\\
{{L'_3} \to {\frac{3}{4}L_3}}\\
\end{array}} \left[\begin{array}{*{20}{c}}
6 & -1 & 4 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
\end{array} \right]$ $\overrightarrow {\scriptsize\begin{array}{l}
{{L'_3} \to {L_3} -\frac{2}{3}{L_2}} \\
\\
\end{array} }\left[ \begin{array}{ccc}
6 & -1 & {4} \\
0 & { 3} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right].$

A matriz escalonada de $A$ tem três pivots.

Exemplo 3:

Podemos escalonar a matriz $A=\left[ {\begin{array}{ccc}
4 & -2 \\
1 & 2 \\
-8 & 4 \\
\end{array}} \right]$ na forma seguinte:


$\left[ \begin{array}{ccc}
{ 4} & -2 \\
1 & 2 \\
{ -8} & 4 \\
\end{array} \right] \overrightarrow {\scriptsize\begin{array}{l}
{L'_2} \to {4L_2} - {L_1} \\
{{L'_3} \to {L_3} + {2L_1}}\\
\\
\end{array}} \left[ \begin{array}{*{20}{c}}
{4} & {-2}\\
{0} & {10} \\
{0} & {0} \\
\end{array} \right]$

Podemos concluir que a matriz $A$ tem dois pivots.