Livro interativo de matrizes

6. Sistemas de Equações Lineares

6.1 Definição e classificação

Definição

Chamamos a uma equação do tipo $a_1x_1 +\ldots + a_nx_n = b$, equação linear nas incógnitas $x_1,\ldots ,x_n$ em que $a_1,\ldots , a_n$ e $b$ são números. $b$ costuma denominar-se por termo independente da equação. Um sistema de equações lineares é uma conjunção finita de equações lineares (todas nas mesmas incógnitas). Um sistema com $m$ equações e $n$ incógnitas

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}{x_1} + \ldots + {a_{1n}}{x_n} = {b_1} \\
{a_{21}}{x_1} + \ldots + {a_{2n}}{x_n} = {b_2} \\
\ldots\\
{a_{m1}}{x_1} + \ldots + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} \\
\end{array} \right.\]

pode ser representado na forma matricial \[Ax=b\] onde $A$ é a matriz do sistema, $x$ é a matriz-coluna das incógnitas e $b$ é a matriz-coluna dos termos independentes do sistema.


Exemplo:

$\left\{ \begin{array}{l}
3{x_1} - 2{x_2} + 3{x_3} - {x_4} = 2 \\
- {x_1} + 2{x_4} = - 3 \\
2{x_1} + {x_2} + {x_3} = 6 \\
{x_2} - 5{x_4} = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3 & { - 2} & 3 & { - 1} \\
{ - 1} & 0 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & { - 5} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}} \\
{{x_3}} \\
{{x_4}} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2 \\
{ - 3} \\
6 \\
3 \\
\end{array}} \right]$

Definição

Uma solução de um sistema de equações lineares nas incógnitas $x_1, \ldots , x_n$ é um vetor $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ de números tais que as substituições $x_i = \alpha_i$, $i = 1\ldots n$, transformam todas as equações do sistema em identidades verdadeiras. Uma solução também se pode apresentar na forma de uma matriz-coluna $n\times 1$.

A resolução de um sistema de equações lineares consiste em determinar todas as suas soluções ou provar que não existe nenhuma. Um sistema de equações lineares que tenha pelo menos uma solução diz-se possível (determinado se só tiver uma, indeterminado se tiver mais do que uma). Um sistema de equações lineares que não tenha nenhuma solução diz-se impossível.


Exemplo:

O sistema

$\left\{ \begin{array}{l}
2{x_1} + 5{x_2} = 3 \\
4{x_1} + 9{x_2} = 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 4 \\
{x_2} = - 1 \\
\end{array} \right.$

é possível determinado com $S=\{(4,-1)\}$.


O sistema $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + 5{x_2} = 2 \\
2{x_1} + 10{x_2} = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} = 2 - 5{x_2}$

é possível indeterminado com $S=\{(2 - 5{x_2},x_2),x_2\in\mathbb{R}\}$.


O sistema $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - 3{x_2} = 1 \\
{x_1} - 3{x_2} = 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - 3{x_2} = 1 \\
1 = 2 \\
\end{array} \right.$ é impossivel e $S=\emptyset $.


Definição

Um sistema em que os termos independentes das equações são todos iguais a $0$ diz-se homogéneo.

Note-se que um sistema homogéneo é sempre possível (possui sempre, pelo menos, a chamada solução nula).

Definição

Dois sistemas com o mesmo número de equações e de incógnitas dizem-se equivalentes se tiverem exatamente as mesmas soluções.