Livro interativo de matrizes
7. Determinantes
7.2 Determinante de uma matriz
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Definimos determinante de uma matriz quadrada $A_n$ através da seguinte equação: \[\det \left( {{A_n}} \right) = \sum\limits_{\sigma = \left( {{\sigma _1},{\sigma _2}, \ldots ,{\sigma _n}} \right) \in {S_n}} {{\mathop{\rm sgn}} (\sigma ){a_{1{\sigma _1}}}{a_{2{\sigma _2}}} \ldots {a_{n{\sigma _n}}}}. \] A equação \[\det \left( {{A_n}} \right) = \sum\limits_{\sigma = \left( {{\sigma _1},{\sigma _2}, \ldots ,{\sigma _n}} \right) \in {S_n}} {{\mathop{\rm sgn}} (\sigma ){a_{{\sigma _1}1}}{a_{{\sigma _2}2}} \ldots {a_{{\sigma _n}n}}} \] é equivalente à anterior. Outra notação para $det(A)$ é $|A|$. |
Exemplo
Dada $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 2 & 0 \\
{ - 2} & { - 1} & 2 \\
3 & 0 & { - 1} \\
\end{array}} \right]$ determinemos $|A|$.
Como a matriz $A$ tem ordem $3$ vamos considerar as $3!=6$ permutações do conjunto $\{1,2,3\}$.
$S_3=\{(123),(132),(213),(312),(231),(321)\}$.
As permutações $(123),(312)$ e $(231)$ são pares enquanto que $(132),(213)$ e $(321)$ são ímpares.
| Permutação $\sigma$ | $\left(a_{1\sigma _1}a_{2\sigma _2}a_{3\sigma _3}\right)$ | Paridade | $sgn(\sigma)$ |
| $(123)$ |
$\left(a_{11}a_{22}a_{33}\right)$ |
par |
$1$ |
| $(132)$ |
$\left(a_{11}a_{23}a_{32}\right)$ |
ímpar |
$-1$ |
| $(213)$ |
$\left(a_{12}a_{21}a_{33}\right)$ |
ímpar |
$-1$ |
| $(312)$ |
$\left(a_{13}a_{21}a_{32}\right)$ |
par |
$1$ |
| $(231)$ |
$\left(a_{12}a_{23}a_{31}\right)$ |
par |
$1$ |
| $(321)$ |
$\left(a_{13}a_{22}a_{31}\right)$ |
ímpar |
$-1$ |
Consequentemente,
$\begin{array}{rcl}|A|&=&1 \times 1 \times ( - 1) \times \left( { - 1} \right) - 1 \times 1 \times 2 \times 0 - 1 \times 2 \times ( - 2) \times \left( { - 1} \right)\\& &+ 1 \times 0\times (-2)\times 0 + 1 \times 2 \times 2 \times 3 - 1 \times 0 \times ( - 1) \times 3 = 9.\end{array}$