Livro interativo de matrizes
3. Independência Linear
As definições e propriedades seguintes são válidas tanto para linhas como para colunas.
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Consideramos que as linhas $L_1, L_2,\ldots, L_m$ de uma matriz $A_{m\times n}$ são linearmente dependentes quando existirem escalares $\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_m ∈ \mathbb{R}$, não todos nulos, tais que \[\lambda_1L_1+ \lambda_2L_2+\ldots+ \lambda_mL_m= 0_{1\times n}\] onde $0_{1\times n}$ representa a linha nula. Caso contrário as linhas dizem-se linearmente independentes, isto é, \[\lambda_1L_1+ \lambda_2L_2+\ldots+ \lambda_mL_m= 0_{1\times n} \Rightarrow \lambda_1= \lambda_2=\ldots= \lambda_m=0.\] A expressão $\lambda_1L_1+ \lambda_2L_2+\ldots+ \lambda_mL_m$, com $\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_m ∈ \mathbb{R}$, designa-se por combinação linear das linhas $L_1, L_2,\ldots, L_m$. |
Exemplo:
Consideremos a matriz $A=\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}
1 & 3 \\
{ - 2} & { - 6} \\
\end{array}} \right]$.
$\lambda_1L_1+\lambda_2L_2=0\Leftrightarrow \lambda_1[1,3]+\lambda_2[-2,-6]=[0,0]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\lambda_1-2\lambda_2=0 \\
3\lambda_1-6\lambda_2=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \lambda_1=2\lambda_2.$
Deste modo, se considerarmos, por exemplo, $\lambda_2=1$ e $\lambda_1=2$ temos que $2L_1+L_2=[0,0]$ e podemos concluir que as linhas de $A$ são linearmente dependentes.
Consideremos agora a matriz $B=\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}
1 & 3 \\
{ 0} & { 6} \\
\end{array}} \right]$.
$\lambda_1L_1+\lambda_2L2=0\Leftrightarrow \lambda_1[1,3]+\lambda_2[0,6]=[0,0]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\lambda_1+0\lambda_2=0 \\
3\lambda_1+6\lambda_2=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \lambda_1=\lambda_2=0.$
Deste modo, podemos concluir que as linhas de $B$ são linearmente independentes.
As propriedades seguintes resultam diretamente da definição anterior.
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1. Se alguma das linhas $L_1, L_2,\ldots, L_m$ for a linha nula, então as linhas são linearmente dependentes. 2. Se algum subconjunto das linhas $L_1, L_2,\ldots, L_m$ são linearmente dependentes, então todas as linhas o são. 3. As linhas $L_1, L_2,\ldots, L_m$ são linearmente dependentes se e só se pelo menos uma das linhas for combinação linear das restantes. |