Livro interativo de matrizes
2. Operações matriciais (vídeo)
|
Definição: Sendo $A = [ a_{ij} ]$ e $B = [ b_{ij} ]$ matrizes de $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ e $\alpha\in\mathbb{R}$, define-se 1. $A+B$ como sendo a matriz $C$ do tipo $m\times n$ tal que $c_{ij}=a_{ij} + b_{ij}$. 2. $\alpha A$ como sendo a matriz $C$ do tipo $m\times n$ tal que $c_{ij}=\alpha a_{ij}$. |
Exemplo:
Sendo $A=\left[ {\begin{array}{r}
1 & { - 2} & 3 \\
3 & 0 & { - 1} \\
\end{array}} \right]$ e $B=\left[ {\begin{array}{r}
2 & 2 & 0 \\
{ - 5} & 1 & 4 \\
\end{array}} \right]$, tem-se
$A+B=\left[ {\begin{array}{r}
3 & {0} & 3 \\
-2 & 1 & { 3} \\
\end{array}} \right]$ e $\frac{1}{2}A=\left[ {\begin{array}{r}
\frac{1}{2} & { - 1} & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 0 & { - \frac{1}{2}} \\
\end{array}} \right].$
|
Teorema Sejam $A$, $B$ e $C$ matrizes em $M_{m\times n}(\mathbb{R})$. 1. $(A+B)+C=A+(B+C)$ (associatividade da adição) 2. $A+B=B+A$ (comutatividade da adição). 3. $A+0=0+A=A$ (a matriz nula $0$ é o elemento neutro da adição). 4. $A+(-A)=(-A)+A=0$ ($-A$ é o elemento simétrico de $A$). |
Demonstração: Resulta das propriedades da adição dos números reais. Consultar bibliografia.
|
Teorema Sejam $A$ e $B$ matrizes em $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ e $\alpha, \beta\in \mathbb{R}$. Então verifica-se: 1. $\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B$. 2. $(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A$. 3. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$. 4. $1A=A$. |
Demonstração: Resulta das propriedades da adição dos números reais. Consultar bibliografia .
|
Definição Sendo $A=[a_{ij}]\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ e $B=[b_{ij}]\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$, define-se $AB$ como sendo a matriz $C$ do tipo $m\times p$ que se obtém multiplicando as linhas de $A$ pelas colunas de $B$, isto é: \[{c_{ik}} = {a_{i1}}{b_{1k}} + {a_{i2}}{b_{2k}} + \ldots + {a_{in}}{b_{nk}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{b_{jk}}}. \] Como se pode subentender da definição, o produto $AB$ só está definido quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. |
Exemplo:
Sejam $A=\left[ {\begin{array}{d}
1 & { 2} & 3 \\
3 & 0 & { 1} \\
\end{array}} \right]$ e $B=\left[ {\begin{array}{d}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 3 \\
{ 1} & 2 & 0 \\
\end{array}} \right]$. Então $AB=\left[ {\begin{array}{d}
{1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 1} & {1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2} & {1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 0} \\
{3 \times 1 + 0 \times 2 + 1 \times 1} & {3 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 2} & {3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times 0} \\
\end{array}} \right]$ $=\left[ {\begin{array}{d}
8 & 8 & 8 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{array}} \right]$.
|
Teorema Sejam $A$, $B$, $C$ e $O$ (matriz nula) matrizes de dimensões apropriadas e $\lambda\in\mathbb{R}$. São válidas as seguintes propriedades: 1. $(AB)C=A(BC)$ (associatividade da multiplicação) 2. $A(B+C)=AB+AC$ (distributividade à esquerda da multiplicação relativamente à adição). 3. $(B+C)A=BA+CA$ (distributividade à direita da multiplicação relativamente à adição). 4. $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$. 5. $A_{m\times n}I_n=A_{m\times n}$ e $I_mA_{m\times n}=A_{m\times n}$. 6. $A_{m\times n}0_{n\times p}=0_{m\times p}$ e $0_{p\times m}A_{m\times n}=0_{p\times n}$. |
Demonstração: Resulta da definição da multiplicação de matrizes. Consultar bibliografia.
|
Definição Duas matrizes $A_n$ e $B_n$ dizem-se permutáveis, comutáveis ou que comutam entre si quando $AB = BA$. |
Exemplo:
Sejam $A=\left[ {\begin{array}{r}
1 & { 2}\\
0 & 3 \\
\end{array}} \right]$ e $B=\left[ {\begin{array}{r}
2 & {-1}\\
0 & 1 \\
\end{array}} \right]$.
Como \[AB=BA=\left[ {\begin{array}{r}
2 & { 1}\\
0
& 3 \\
\end{array}} \right]\] então $A$ e $B$ são permutáveis.