Índice de Álgebra linear

Definição (Inversa de uma matriz) Uma matriz $A$ de ordem $n$ diz-se invertível, regular ou não singular quando existir uma matriz $X$ de ordem $n$ tal que $AX = I_n$ e $XA = I_n$. A matriz $X$ designa-se por inversa da matriz $A$ e representa-se por $A^{-1}$.

Observações:

1. Só as matrizes quadradas admitem inversa. No entanto, nem todas as matrizes quadradas são invertíveis!

2. Note que, se existir uma matriz que satisfaça uma das igualdades $AX = I_n$ ou $XA = I_n$ então também verifica a outra igualdade. Assim, para determinar a inversa de uma matriz $A$ é suficiente encontrar uma matriz que satisfaça uma das igualdades.

 

Exemplo:

Determinemos, se existir, a inversa da matriz $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 2 \\
3 & { - 1} \\
\end{array}} \right]$.

Seja $X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
x & y \\
z & { w} \\
\end{array}} \right]$.

$AX=I_2\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 2 \\
3 & { - 1} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
x & y \\
z & { w} \\
\end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 0 \\
0 & { 1} \\
\end{array}} \right]$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
x+2z & y+2w \\
3x-z & { 3y-w} \\
\end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 0 \\
0 & { 1} \\
\end{array}} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x+2z=1 \\
y+2w=0 \\
3x-z=0\\3y-w=1\\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=\frac{1}{7} \\
y=\frac{2}{7}\\
z=\frac{3}{7}\\w=-\frac{1}{7}\\ \end{array} \right.$

Podemos concluir que $A^{-1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & { -\frac{1}{7}} \\ \end{array}} \right]$.

 

Teorema A inversa de uma matriz quadrada $A_n$ quando existe é única.

Demonstração: Ver bibliografia.

Propriedades Sejam $A_n$ e $B_n$ matrizes invertíveis. Então: 1. se $A_n = diag(a_{11}, a_{22},\ldots, a_{nn})$ é uma matriz diagonal então $A^{−1} = diag\left(\frac{1}{a_{11}}, \frac{1}{a_{22}},\ldots, \frac{1}{a_{nn}} \right)$; 2. $A^{−1}$ é invertível e $\left(A^{−1}\right)^{-1}=A.$ 3. para um escalar não nulo $\alpha\in\mathbb{R}$, $\alpha A_n$ é invertível e $\left(\alpha A_n\right)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A_n^{-1}$; 4. a matriz $AB$ é invertível e $(AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}$; 5. para $k\in\mathbb{N}$, a matriz $A^k$ é invertível e $\left(A^k\right)^{-1}=(A^{-1})^k$; 6. a matriz $A^T$ é invertível e $\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$.

Demonstração: Ver bibliografia.

 

Teorema $A_n$ é invertível se e só se $car(A)=n$, isto é, $A_n$ é invertível se e só se a sua característica for igual à sua ordem.

Demonstração: Ver bibliografia.