Livro interativo de matrizes

2. Operações matriciais (vídeo)

2.1 Transposição. Matrizes simétricas e matrizes ortogonais (vídeo)

Definições

Dada uma matriz $A = [a_{ij}]$ do tipo $m\times n$, define-se a transposta de $A$ como sendo a matriz $A^T = [b_{ij} ]$, do tipo $n\times m$, onde $b_{ij} = a_{ji}$, para $i = 1,\ldots n$, $j = 1,\ldots ,m$.

A matriz $A$ diz-se simétrica se $A^T = A$ e anti-simétrica se $A^T = -A$.

 

Vídeo Exemplo 1:
A transposta da matriz $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 0 & 4 \\
5 & 3 & 6 \\
\end{array}} \right]$ é a matriz ${A^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 5 \\
0 & 3 \\
4 & 6 \\
\end{array}} \right]$.
A transposta da matriz $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 2 & -4 \\
5 & 3 & 6 \\
-7 & 1 & 8 \\
\end{array}} \right]$ é a matriz ${B^T} =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 5 & -7 \\
2 & 3 & 1 \\
-4 & 6 & 8 \\
\end{array}} \right]$.

Exemplo 2:
A matriz

\[C=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 3 & 2 \\
3 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 8 \\
\end{array}} \right]\]

é simétrica porque $C^T=C$ mas a matriz \[D=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 4 & 2 \\
3 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 8 \\
\end{array}} \right]\]

já o não é, uma vez que $d_{12} \ne d_{21}$.

A matriz

\[E=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 3 & 8 \\
-3 & 0 & -4 \\
-8 & 4 & 0 \\
\end{array}} \right]\] é anti-simétrica porque $E^T=-E$


Proposição

A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:

1. $(A^T)^T=A$;

2. $(A+B)^T=A^T+B^T$;

3. $(\alpha A)^T=\alpha A^T$, sendo $\alpha$ um número;

4. $(AB)^T=B^TA^T$.

Definição

Uma matriz quadrada $A_n$ diz-se ortogonal se $A^TA= AA^T = I_n$.

 

Exemplo:

A matriz $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} & {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
\end{array}} \right]$ é ortogonal.

De facto, $AA^T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} & { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} & {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} & { \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
{-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} & {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
\end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1} & {0} \\
{0} & {1} \\
\end{array}} \right]=I_2$.