Livro interativo de matrizes
7. Determinantes
7.6 Regra de Cramer (vídeo)
A fórmula para a inversa de uma matriz da secção anterior torna natural que consigamos obter uma fórmula para a solução de um sistema $Ax = b$ com $A$ quadrada invertível. E esse o conteúdo do teorema seguinte.
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Teorema (Regra de Cramer) Dado o sistema $Ax = b$, com $A_{n\times n}$ invertível, a solução (única) do sistema é $x=[x_1,\ldots ,x_n]^T$ com $x_i=\displaystyle\frac{|A(i)|}{|A|}$, $i = 1,\ldots n$, onde $A(i)$ é a matriz que se obtém de $A$ substituindo a coluna $i$ por $b$. |
Exemplo
Considere o sistema linear $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ com \[A= \left[\begin{array}{ccc} 7 & -1 & 5 \\ 2 & -3 & -5 \\ 0 & 7 & 6 \\ \end{array}\right] \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\quad \mathrm{e} \quad \mathbf{b}= \left[\begin{array}{c} 0 \\ -6 \\ 7 \\ \end{array}\right] .\] Pela regra de Cramer temos que
$ x =\frac{ \left| { \begin{array}{*{20}c} { 0 } & { -1 } & { 5 } \\ { -6 } & { -3 } & { -5 } \\ { 7 } & { 7 } & { 6 } \\ \end{array} } \right| }{ \left| { \begin{array}{*{20}c} { 7 } & { -1 } & { 5 } \\ { 2 } & { -3 } & { -5 } \\ { 0 } & { 7 } & { 6 } \\ \end{array} } \right| }=-\frac{106}{201}$, $ y =\frac{ \left| { \begin{array}{*{20}c} { 7 } & { 0 } & { 5 } \\ { 2 } & { -6 } & { -5 } \\ { 0 } & { 7 } & { 6 } \\ \end{array} } \right| }{ \left| { \begin{array}{*{20}c} { 7 } & { -1 } & { 5 } \\ { 2 } & { -3 } & { -5 } \\ { 0 } & { 7 } & { 6 } \\ \end{array} } \right| }=\frac{21}{67}$
e
$ z =\frac{ \left| { \begin{array}{*{20}c} { 7 } & { -1 } & { 0 } \\ { 2 } & { -3 } & { -6 } \\ { 0 } & { 7 } & { 7} \\ \end{array} } \right| }{ \left| { \begin{array}{*{20}c} { 7 } & { -1 } & { 5 } \\ { 2 } & { -3 } & { -5 } \\ { 0 } & { 7 } & { 6 } \\ \end{array} } \right| }=\frac{161}{201}$.
Podemos concluir que o conjunto solução do sistema é $S=\{\left(-\frac{106}{201},\frac{21}{67},\frac{161}{201}\right)\}$.