Índice de Álgebra linear

Definição (Característica de uma matriz)

Designa-se por característica da matriz $A$ e representa-se por $car(A)$ ou $r(A)$, o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.

Definição (Matriz escalonada por linhas)

Diz-se que a matriz $A$ está na forma escalonada por linhas ou na forma de escada de linhas quando tiver as seguintes características:

• se houver linhas nulas, elas situam-se abaixo das linhas não nulas;

• o primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da primeira) situa-se à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior.

O primeiro elemento não nulo de cada linha designa-se por pivot ou elemento redutor.

Teorema

Se a matriz $A$ está na forma escalonada por linhas, então a sua característica é igual ao número de pivots.

Definição

Designam-se por operações elementares sobre linhas (colunas) de uma matriz $A$, às seguintes operações:

• a troca da linha (coluna) $i$ pela linha (coluna) $j$ e denota-se por $L_i \leftrightarrow L_j$ ($C_i \leftrightarrow C_j$).

• a multiplicação da linha (coluna) $i$ por um escalar $\alpha$ não nulo e denota-se por $L_i' \rightarrow \alpha L_i$ ($C_i \rightarrow \alpha C_i$).

• a adição aos elementos da linha (coluna) $j$ de $\alpha$ vezes os elementos correspondentes da linha (coluna) $i$ e denota-se por $L_j' \rightarrow L_j+ \alpha L_i$ ($C_j' \rightarrow C_j + \alpha C_i$).

Teorema

A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriz não é alterada por qualquer uma das operações elementares.

Teorema

Se $B$ é uma matriz que se obtém de $A$ usando operações elementares então $car(B) = car(A)$.