Livro Interativo e multimédia de Cálculo Integral
1 Cálculo integral - Definição e propriedades
1.1 Soma de Riemann
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Definição: Consideremos um intervalo $[a, b]$ e os $n+1$ pontos $a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b.$ Ao conjunto de sub-intervalos $[x_0,x_1]$, $[x_1,x_2]$, ...,$[x_{n-1},x_n]$ chama-se partição de $[a,b]$. Chamamos amplitude da partição à maior das amplitudes dos sub-intervalos obtidos, isto é, a \[\mathop {\max }\limits_{0 \le k \le n - 1} \left( {{x_{k + 1}} - {x_k}} \right).\] |
Notas:
A partição fica bem definida pelo conjunto $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\subseteq [a,b]$. É claro, pelo modo como definimos a partição, que consideramos o conjunto $P$ ordenado.Exemplo:
Na figura seguinte está representada uma partição $p$ do intervalo $[1,5]$ definida por $P=\{1,2,3.3,4.4,5\}$ .
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Definição: Seja $f$ uma função limitada no intervalo $[a,b]$ e seja $p$ uma partição de $[a,b]$. Uma soma de Riemann de $f$ em relação a $p$ é qualquer expressão da forma \[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f({y_k})({x_{k + 1}} - {x_k})} \] onde $y_k\in [x_k,x_{k+1}]$. |
Exemplo:
Consideremos a função definida por $f(x)=x^2$ no intervalo $[1,5]$.Considerando a partição $p$ do exemplo anterior, são exemplos de somas de Riemann as seguintes expressões:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k = 0}^{3} {f({x_k})({x_{k + 1}} - {x_k})}&=&1^2\times(2-1)+2^2\times(3.3-2)+3.3^2\times(4.4-3.3)+4.4^2\times(5-4.4)\\ &=&29.795; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}\sum\limits_{k = 0}^{3} {f({x_{k+1}})({x_{k + 1}} - {x_k})}&=&2^2\times(2-1)+3.3^2\times(3.3-2)+4.4^2\times(4.4-3.3)+5^2\times(5-4.4)\\ &=&54.453;\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}\sum\limits_{k = 0}^{3} {f({y_{k}})({x_{k + 1}} - {x_k})}&=&1^2\times(2-1)+3^2\times(3.3-2)+4^2\times(4.4-3.3)+5^2\times(5-4.4)\\ &=&45.3.\end{eqnarray*}$
Neste último caso, $y_0=1$, $y_1=3$, $y_2=4$ e $y_3=5$.