Livro Interativo e multimédia de Cálculo Integral

3.2.1 Rotação em torno do eixo dos $xx$ - Caso I

Para determinar o volume de um sólido de revolução precisamos apenas de notar que a área $A(x)$ de cada secção do sólido perpendicular ao eixo dos $xx$ no ponto $x$ é a área de um círculo de raio $f(x)$. O raio $f(x)$ corresponde à distância entre o eixo de revolução e a fronteira da região plana. Como a área da secção circular é dada por $A(x)=\pi\times (f(x))^2$ surge com naturalidade o resultado seguinte.

Teorema: Seja $f$ contínua no intervalo $[a, b]$. O volume $V$ do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos $xx$ da região limitada pelo gráfico de $f$ e pelas retas de equações $y=0$, $x = a$ e $x = b$ é dado por

\[V=\pi\int\limits_a^b{\left[f(x)\right]^2}\;dx.\]

Na figura seguinte pode-se visualizar a interpretação geométrica deste resultado. Se arrastar, com o botão esquerdo do rato os seletores, pode visualizar a formação do sólido através de círculos de raio $f(x)$.

Se clicar no play no canto inferior esquerdo obtêm uma animação representativa desta situação.


A medida do volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos $xx$, da região do plano limitada pelo gráficos das curvas definidas por $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$ e $x=4$ representado na figura é calculada no vídeo seguinte Vídeo .