Índice de Análise Matemática

O Teorema do valor médio para integrais afirma que se uma função $f$ é contínua em $\left[a, b\right]$, então existe $c\in \left[a, b\right]$ tal que

\[\int\limits_a^b {f(x)} \;dx=f(c)(b-a).\]

Considere a função real de variável real $f$ representada no gráfico seguinte e o ponto de abcissa $c$.

Como $f$ é positiva em $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$ o teorema anterior garante que existe $c\in\left[\frac{1}{2}, 4\right]$ tal que a área da região limitada pelo gráfico de $f$, o eixo dos $xx$ e as retas $x=\frac{1}{2}$ e $x=4$ é igual área do retângulo cujas base e altura medem $\frac{7}{2}$ e $f(c)$ respetivamente. Se arrastar o ponto de abcissa $c$ com o botão esquerdo do rato pode observar uma variação da área do retângulo e concluir que para $c=2.06\in \left[\frac{1}{2}, 4\right]$ as duas áreas são iguais.