Livro Interativo e multimédia de Cálculo Integral
1 Cálculo integral - Definição e propriedades
1.3 Propriedades do integral
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Definição: Sejam $a,b\in\mathbf{R}$, $a<b$ e $f:\left[ {a,b} \right] \to R$ uma função integrável. Define-se, $\displaystyle\int\limits_b^a {f(x)\;dx}=-\int\limits_a^b {f(x)\;dx}$ e $\displaystyle\int\limits_a^a {f(x)\;dx}=0$. |
Nota:
A definição anterior justifica-se pelo facto de, até ao momento, só termos definido $\displaystyle\int\limits_a^b {f(x)\;dx}$ com $a<b$.
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Propriedade 1: Seja $f$ integrável em $[a,b]$. O integral depende da função integranda e do intervalo de integração, mas não tem nada a ver com a variável de integração, isto é, \[\int\limits_a^b {f(x)\;dx}=\int\limits_a^b {f(t)\;dt}.\] |
Exemplo:
A função definida por $f(x)=x^2$ é contínua em $[0,3]$. Consequentemente, também é integrável e $\displaystyle\int\limits_0^3 {x^2\;dx}=\displaystyle\int\limits_0^3 {t^2\;dt}$.
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Propriedade 2: Sejam $f$ integrável em $[a,b]$ e $c\in ]a, b[$. Então $f$ é integrável em $[a,c]$ e $[c,b]$ e tem-se \[\int\limits_a^b {f(x)\;dx}=\int\limits_a^c {f(x)\;dx}+\int\limits_c^b {f(x)\;dx}.\] |
Exemplo:
A função definida por $g(x)=2x$ é contínua em $[0,3]$. Logo, também é integrável em $[a,b]$ e $\displaystyle\int\limits_0^3 {2x\;dx}=\displaystyle\int\limits_0^2 {2x\;dx}+\int\limits_2^3 {2x\;dx}$.
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Propriedade 3: (aditividade) Sejam $f$ e $g$ duas funções integráveis em $[a,b]$. Então $f + g$ é integrável em $[a,b]$ e tem-se \[\int\limits_a^b {\left[f(x)+g(x)\right]\;dx}=\int\limits_a^b {f(x)\;dx}+\int\limits_a^b {g(x)\;dx}. \] |
Exemplo:
A função definida por $g(x)=2x$ é contínua em $[0,3]$. Logo, também é integrável em $[a,b]$ e
$\displaystyle\int\limits_0^3 {x^2+2x\;dx}=\displaystyle\int\limits_0^3 {x^2\;dx}+\int\limits_0^3 {2x\;dx}$.
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Propriedade 4: (homogeneidade)
Seja $f$ integrável em $[a, b]$. Seja $k$ uma constante real. Então $kf$ é integrável |
Exemplo:
$\displaystyle\int\limits_0^3 {5x^2\;dx}=\displaystyle 5\int\limits_0^3 {x^2\;dx}$.
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Propriedade 5: Seja $f$ uma função integrável em $[a, b]$ tal que $f\ge 0$, isto é, \[f(x) \ge 0,\;\forall x \in \left[ {a,b} \right].\] Então $\displaystyle \int\limits_a^b {f(x)\;dx}\ge 0. $ |
Exemplo:
Como $f(x)=x^2\ge 0$ para todo o $x\in[0,3]$ então $\displaystyle\int\limits_0^3 {x^2\;dx}\ge 0$.
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Propriedade 6: Sejam $f$ e $g$ duas funções integráveis em $[a,b]$ tais que $f\ge g$, isto é, \[f(x) \ge g(x),\;\forall x \in \left[ {a,b} \right].\] Então $\displaystyle \int\limits_a^b {f(x)\;dx}\ge \int\limits_a^b {g(x)\;dx}. $ |
Exemplo:
Como $x^2\ge 2x$ para todo o $x\in[0,2]$ então $\displaystyle\int\limits_0^2 {x^2\;dx}\ge \displaystyle\int\limits_0^2 {2x\;dx}$.