Livro interativo de Geometria no plano e no espaço

3 Produto externo numa base ortonormada

Definição

Sendo $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$, define-se produto externo (ou produto vectorial) de $\vec u$ por $\vec v$ como sendo o vector \[\vec u \wedge \vec v = \left( {{u_2}{v_3} - {v_2}{u_3}, - \left( {{u_1}{v_3} - {v_1}{u_3}} \right),{u_1}{v_2} - {v_1}{u_2}} \right).\]

Outra notação habitual é $\vec u\times \vec v$.

Quando $\vec u$ e $\vec v$ são não nulos e não colineares, $\vec u\wedge \vec v$ tem as seguintes caraterísticas:

  • a direcção é perpendicular ao paralelogramo formado por $\vec u$ e $\vec v$;
  • o sentido é tal que os vectores $\vec u$, $\vec v$ e $\vec u \wedge \vec v$, por esta ordem, quando aplicados no mesmo ponto de aplicação formam uma base directa;
  • a sua norma é igual à área do paralelogramo representado na figura seguinte.

Se arrastar, com o botão esquerdo do rato, os pontos extremidade dos vetores, pode variar a figura.

 

Exemplo

Consideremos os vetores $\vec u=(1,-2,3)$ e $\vec v=(3,2,0)$ de $\mathbb{R}^3$.

$\vec u\wedge \vec v= \vec u \wedge \vec v = \left( { - 2 \times 0 - 2 \times 3, - \left( {1 \times 0 - 3 \times 3} \right),1 \times 2 - 3 \times ( - 2)} \right) = \left( { - 6,9,8} \right)$.

 

Proposição

Sejam $\vec u$ e $\vec v$ dois vectores não nulos. $\vec u \wedge \vec v=\vec 0$ se e só se $\vec u\parallel \vec v$.

 

Propriedades

Sejam $\vec u$, $\vec v$ e $\vec w$ vetores de $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ .

  • Se $\vec u\parallel \vec v$ então $\vec u\wedge \vec v=\vec 0.$
  • $\vec u \wedge \vec v=-\vec v \wedge \vec u$ (anti-comutatividade).
  • $\vec u \wedge (\vec v\wedge \vec w)\ne (\vec u \wedge \vec v)\wedge \vec w$ (não associatividade)
  • $\vec u \wedge (\vec v+\vec w)=\vec u \wedge \vec v+\vec u \wedge\vec w$ (distributividade à esquerda em relação à adição).
  • $(\vec v+\vec w) \wedge\vec u =\vec v \wedge \vec u+\vec w \wedge\vec u$ (distributividade à direita em relação à adição).
  • $(\alpha \vec u)\wedge\vec v= \vec u\wedge(\alpha\vec v)=\alpha (\vec u\wedge\vec v)$ (associatividade da multiplicação escalar).