Livro interativo de Geometria no plano e no espaço

2 Produto Interno

2.2 Projecção vectorial

Definição

Seja $\vec u$ um vetor não nulo. Então, a projeção vetorial de um vetor $\vec v$ em $\vec u$ é dada por

\[proj_{\vec u}\vec v=\frac{\vec u\cdot \vec v}{\left||\vec u |\right|^2}\vec u.\]
Designa-se por projeção escalar o comprimento da projeção vetorial:

\[\left||proj_{\vec u}\vec v |\right|=\frac{|\vec u\cdot \vec v|}{\left||\vec u |\right|}.\]


Na figura seguinte está ilustrada uma representação gráfica da projeção vetorial de um vetor $\vec v$ em $\vec u$. Se arrastar, com o botão esquerdo do rato, o ponto extremidade do vetor $\vec u$ pode variar a figura e observar o caso em que $\theta$ é obtuso.

 

Definição

Consideremos no referencial ortonormado $(O,e_1,e_2,e_3)$ o vetor não nulo $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$.
Chamamos:

  • ● aos ângulos \({\angle \left( {\vec u,{{\hat e}_i}} \right)}\), para \(i=1,2,3\), ângulos diretores de $\vec u$;

  • ● aos escalares \[\cos \left( {\angle \left( {\vec u,{{\hat e}_i}} \right)} \right) = \frac{{{u_i}}}{{\left\| {\vec u} \right\|}}, i=1,2,3\] cossenos diretores de $\vec u$.

Nota
Os cossenos directores de um vector são as coordenadas do seu versor.