Livro interativo de Geometria no plano e no espaço

1 Vetores no plano e no espaço

1.1 Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar

A soma, $\vec u +\vec v$, de dois vetores $\vec u$ e $\vec v$ é determinada geometricamente da seguinte forma:

  • consideramos um segmento orientado que representa $\vec u$;
  • consideramos um segmento orientado que representa $\vec v$, com origem na extremidade de $\vec u$;
  • o vetor $\vec u +\vec v$ é representado pelo segmento orientado que vai da origem de $\vec u$ até à extremidade de $\vec v$.

A figura seguinte ilustra a situação.


Se arrastar, com o botão esquerdo do rato, os pontos $B$ ou $C$ obtém diferentes vetores
$\vec u$ e $\vec v$ e o respetivo vetor soma.

A multiplicação de um vetor $\vec u$ por um escalar $\alpha\in\mathbb{R}$, $\alpha\vec u$, é um vetor com as seguintes características:
(a) é o vetor nulo, se $\alpha=0$ ou $\vec u= \vec 0$;
(b) caso contrário,

  • tem comprimento $\left| \alpha \right|$ vezes o comprimento de $\vec u$;
  • a direção é a mesma de $\vec u$ (neste caso, dizemos que eles são paralelos);
  • tem o mesmo sentido de $\vec u$, se $\alpha >0$ e tem o sentido contrário ao de $\vec u$ , se $\alpha <0$.

Se arrastar, com o botão esquerdo do rato o seletor do $\alpha$ ou o ponto $B$ obtém novos vetores $\vec u$ e $\alpha \vec u$.

As propriedades da multiplicação por escalar serão apresentadas mais à frente. Se $\vec v=\alpha\vec u$ , dizemos que $\vec v$ é um múltiplo escalar de $\vec u$. É fácil ver que dois vetores não nulos são paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro.

As operações com vetores podem ser definidas utilizando um referencial ortonormado $(O, \hat e_1,\hat e_2)$. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano. Seja $\vec v$ um vetor no plano. Definimos as componentes de $\vec v$ como sendo as coordenadas $(v_1, v_2)$ do ponto final do representante de $\vec v$ que tem ponto inicial na origem. Escrevemos simplesmente $\vec v=(v_1, v_2)$.

RP

Assim, as coordenadas de um ponto $P$ são iguais às componentes do vetor $\overrightarrow{OP}$, que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto $P$. Em particular, o vetor nulo, $\vec 0 = (0, 0)$. Em termos das componentes, podemos realizar facilmente as operações: soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar.

A soma de dois vetores $\vec v =(v_1,v_2)$ e $\vec w =(w_1,w_2)$ é dada por $\vec v+\vec w=(v_1 + w_1, v_2 + w_2)$

A multiplicação de um vetor $\vec v=(v_1,v_2)$ por um escalar $\alpha\in\mathbb{R}$ é dada por $\alpha \vec v=(\alpha v_1,\alpha v_2)$.

Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga à que fizemos no plano, utilizando três componentes e o referencial ortonormado $(O, \hat e_1,\hat e_2,\hat e_3)$ .

Em $\mathbb{R}^3$, a soma de dois vetores $\vec v =(v_1,v_2,v_3)$ e $\vec w =(w_1,w_2,w_3)$ é dada por $\vec v+\vec w=(v_1 + w_1, v_2 + w_2,v_3+w_3)$

A multiplicação de um vetor $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$ por um escalar $\alpha\in\mathbb{R}$ é dada por $\alpha \vec v=(\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3)$.

Quando um vetor $\vec v$ está representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem, digamos em $A= (x_A, y_A, z_A)$, e ponto final em $B= (x_B, y_B, z_B)$ , então as componentes do vetor $\vec v$ são dadas por

\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right) - \left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right) = \left( {{x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_B}} \right).\]

Portanto, as componentes de $\vec v$ são obtidas subtraindo-se às coordenadas do ponto $B$ (extremidade) as do ponto $A$ (origem): $\overrightarrow {AB}=B-A$. O mesmo se aplica a vetores no plano.

Exemplo:

As componentes do vetor $\overrightarrow {AB}$ onde $A=(2,-3,1)$ e $B=(0,4,-5)$ são $\overrightarrow {AB}=B-A=(0,4,-5)-(2,-3,1)=(-2,7,-6)$.

No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e multiplicação de vetores por escalar.

Teorema

Sejam $\vec u$, $\vec v$ e $\vec w$ vetores e $\alpha$ e $\beta$ escalares. São válidas as seguintes propriedades:

1. $\vec u +\vec v=\vec v + \vec u$ ( comutatividade da adição)

2. $(\vec u +\vec v)+\vec w=\vec u + (\vec v + \vec w)$ ( associatividade da adição).

3. $\vec u+\vec 0=\vec u$ ($\vec 0$ é o elemento neutro da adição).

4. $\vec u + (-\vec u)=\vec 0$ ($-\vec u$ é o elemento simétrico de $\vec u$).

5. $\alpha(\beta \vec u)=(\alpha\beta)\vec u$.

6. $\alpha(\vec u+\vec v)=\alpha\vec u+\alpha \vec v$.

7. $(\alpha+\beta)\vec u=\alpha \vec u+\beta \vec u$.

8. $1\vec u=\vec u$.