Matemática A - 12.º - aulas e exercícios em vídeo e fichas multimédia

11.1) Com exceção da 11.1a), a resolução é reservada a inscritos. Inscreva-se neste link!

Calcule as derivadas de cada uma das seguintes funções, definidas pela sua expressão algébrica:

(a) $\displaystyle\mathop f(x)={\rm sen }\left(5x+3\right)$;	(b) $\displaystyle\mathop f(x)=x\cos\left(2x^2-4x\right)$;
(c) $\displaystyle\mathop f(x)={\rm sen }^2\left(2-3x\right)$;	(d) $\displaystyle\mathop f(x)={\rm sen } x\times{\rm tg }\left(3x^3+x\right)$;
(e) $\displaystyle\mathop f(x)=\frac{{\rm tg }\left(3x^2\right)}{x^2-x}$;	(f) $\displaystyle\mathop f(x)=4 + \frac{{8 - 4{\rm sen } x}}{{\cos x}}$.

11.2) Resolução reservada a inscritos. Inscreva-se neste link!

Estude a monotonia e a existência de extremos relativos da função definida em $\displaystyle\left[ {0,\;2\pi } \right]$ por \[\displaystyle f(x) = \frac{{\rm sen } x}{{2 + \cos x}} .\]

1.3) Resolução reservada a inscritos. Inscreva-se neste link!

Certa fábrica pretende produzir mosaicos com a forma de trapézios retângulos, como mostra a figura.

(a) Exprima a altura $h$ do trapézio e o comprimento da base maior em função de $\theta$.
(b) Mostre que a área $A(\theta)$ do trapézio é dada, em $dm^2$, por $A\left( \theta \right) = 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} \theta + {\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {2\theta } \right)$.
(c) Determine o valor de $\theta$ para o qual o mosaico tem área máxima e calcule essa área.
(d) Determine $A\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadrilátero que se obtém para $\theta = \frac{\pi }{2}$.