7.1) Considere a função real de variável real definida por $f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} + 5$.

(a) Mostre que $f(x)=10$ tem pelo menos uma solução em $\left] {4,5} \right[$.

(b) Mostre que $f(x)=0$ tem pelo menos uma solução em $\left] {-3,0} \right[$

(c) Prove que $f$ toma o valor $-1$ pelo menos uma vez no intervalo $\left] 0,3 \right[$

 

7.2) Considere a função real de variável real definida por $f\left( x \right) = e^{2x}-8$.

(a) Mostre que existe $c \in \left] {1,2} \right[$ tal que $f(c)=0$ de dois modos diferentes.

(b) Mostre que a equação $f(x)=2$ tem pelo menos uma solução em $\left] {0,3} \right[$.

Rui

7.3) Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0,5]$ e contradomínio $[3,4]$. Seja $g$ a função, de domínio $\left[ {0,5} \right]$, definida por $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x$.

Prove que a função $g$ tem, pelo menos, um zero.

7.4) De uma função $g$, contínua em $\mathbb{R}$, sabe-se que:

• ● $1$ é zero de $g$;
• ● $g(3)>0$.

Prove que a equação $g\left( x \right) = \frac{{g\left( 3 \right)}}{2}$ tem, pelo menos, uma solução no intervalo $\left] {1,3} \right[$.