Funções exponencial e logarítmica

Aula 6 - Condições com logaritmos

● Exercícios em vídeo

6.1) Resolva, em $\mathbb{R}$, cada uma das seguintes condições:

Vídeo (a) $\ln \left( {{x^2}} \right) = \ln \left( {2x} \right)$; Vídeo (b) ${\small\ln\left(x^2-4\right)=\ln\left(1-4x\right)}$; Vídeo (c) $4 + {\log _2}\left( {3{x^2}} \right) = {\log _2}\left( {{x^3}} \right)$;
Vídeo (d) $\log x > \log \left( {2x - 8} \right)$; Vídeo (e) $3 + {\log _3}x \leq 4$; Vídeo  (f) ${\small\log _4\left(x^2-x-2\right)\leq \log_4\left(x+1\right)+1}$;
Vídeo (g) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left({3x-1}\right)<- 1$; Vídeo (h) ${\small 2\left(\ln x\right)^2+5\ln x-3=0}$; Vídeo (i) ${\small{\left[ {\ln \left( {x - 3} \right)} \right]^2} - 4\ln \left( {x - 3} \right) > 0}$;
Vídeo (j) $2^x=5$ Vídeo (l) ${e^{ - 2x}} = \frac{1}{4}$; Vídeo (m) ${e^{4 - 3x}} = 4$;
Vídeo (n) ${e^x}\left( {4 - 0.1{e^{4x - 1}}} \right) = 0$; Vídeo (o) ${3^x} + 2 \times {3^{ - x}} = 3$; Vídeo (p) ${e^x} - 1 - 2 \times {e^{ - x}} = 0$. 

Rui

Vídeo 6.2) Quando o pão sai do forno, a sua temperatura é aproximadamente de $100^\circ$C. Para arrefecer, é colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de $23^\circ$C. Passados $3$ minutos a sua temperatura é aproximadamente de $74^\circ$C. Depois de sair do forno, ao fim do tempo $t$, em minutos, a temperatura do pão é dada por:\[T\left( t \right) = 23 + a{e^{ - kt}}\]

(a) Mostre que $a = 77$ e $k \approx 0.14$.
(b) Qual será, aproximadamente, a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno?
(c) Para embrulhar o pão é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a $40\circ$C. O António entrou na padaria no momento em que o pão estava a sair do forno. O António quer comprar pão mas está com pressa, diz que só pode esperar entre $3$ a $5$ minutos. Será que o António vai levar o pão? Se sim, em que condições? Como identifica nos gráficos a temperatura ambiente. Apresente a sua resposta na forma de uma pequena composição enriquecida por gráfico ou gráficos obtidos pela sua calculadora.

Rui

Vídeo 6.3) Considere que a altura $A$ (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso $p$ (em quilogramas), por \[A\left( p \right) = - 0,52 + 0,55\ln \left( p \right)\]

Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efetuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes.

(a) O Ricardo tem $1.4$m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso?

Nota: Apresente o resultado em quilogramas, arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

(b) Verifique que, para qualquer valor de $p$,  a diferença $A\left( {2p} \right) - A\left( p \right)$ é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita.

           

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