Cálculo diferencial
Aula 5 e exercícios - Derivabilidade e continuidade
Aula com exemplos
Exercícios resolvidos
5.1) 
Recorrendo à derivada mostre que a função definida por $f\left( x \right) = 3{x^2} + x - 1$ é contínua no ponto de abcissa $1$.
5.2)
Uma função real de variável real $f$ satisfaz $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} = 6$ e $f(a)=4$.
Qual é o valor de $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$?
5.3)
Considere
a função real de variável real $f$ definida por
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}
{3x-1} & {{\text{se }}x \leq 1} \\
{x^2+1} & {{\text{se }}x > 1} \\
\end{array} } \right.\]
Mostre que $f$ é contínua no ponto $1$ e, no entanto, não tem derivada neste ponto.
5.4)
Na figura seguinte está representado parte do gráfico de uma função real de variável real $f$.
Indique o conjunto de pontos onde $f$ é derivável, com base no seu gráfico.
5.5)
Na figura seguinte está representado parte do gráfico de uma função real de variável real $g$.
Estude $g$ quanto à derivabilidade, com base no seu gráfico.
5.6)
Considere a função real de variável real $f$ definida por
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}
{3-x^2} & {{\text{se }}x \leq 0} \\
{4x-e^{2x}} & {{\text{se }}x > 0} \\
\end{array} } \right.\]
(a) Mostre que $f$ não é contínua no ponto $0$.
(b) Estude a diferenciabilidade de $f$ no ponto de abcissa 0.