Cálculo diferencial

Aula 7 - Regras de derivação, Derivadas de ordem superior - Parte 1

● Exercícios em vídeo

7.1) Determine a derivada de cada uma das seguintes funções usando as regras de derivação:

Vídeo (a) $\displaystyle y = 3x + 5$

Vídeo (b) $\displaystyle y = \left( {1 + x} \right) + \left( {3x + x^2 } \right) $ Vídeo (c) $y = \frac{{x^3 }}{3}+\frac{1}{4}x^4-5x^6 $
Vídeo (d) $\displaystyle  y = \left(3x-4\right)\left(4x^2-4x\right)$ Vídeo (e) $\displaystyle  y = \left(\frac{x^2}{2}+x\right)\left(2x^4-\frac{x}{2}\right)$ Vídeo (f) $\displaystyle y = \left( {5x + 1} \right)^6 $
Vídeo (g) $\displaystyle y = \left( { - x^2 + 3x - 2} \right)^2 $ Vídeo (h) $\displaystyle y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}} $ Vídeo (i) $\displaystyle y = \frac{{x^2 + x}}{{2x +1}} $
Vídeo (j) $\displaystyle y = e^{ - 3x + 1} $ Vídeo (l) $\displaystyle  y = \frac{1}{3}(e^x - e^{ - x} ) $ Vídeo (m) $\displaystyle y = e^{\sqrt x }+ e^{\frac{1}{x}}$
Vídeo (n) $\displaystyle y = xe^{ - x} + x^e $ Vídeo (o) $\displaystyle  y = e^{ - 2x} (x - 3x^4 ) $ Vídeo (p) $\displaystyle y = 2^{ - x + \frac{1}{x}} $
Vídeo (q) $\displaystyle y =\ln (3x - 4) $ Vídeo (r) $\displaystyle  y = 4\ln (4x^2 - 3) $ Vídeo (s) $\displaystyle  y = \log _2 (2x - 4) $
Vídeo (t) $\displaystyle y = \frac{{\ln (3x - 2)}}{{3\ln (4x)}} $

7.2) Calcule a derivada das seguintes funções no ponto indicado:

Vídeo a) $\displaystyle f(x)=x^2-\frac{x}{4}+2$ e $x=4$;

Vídeo b) $\displaystyle f(x)=x\ln x$ e $x=e$;

Vídeo c) $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x}{x-2}$ e $x=-1$;

Rui

7.3) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $T$ onde:

Vídeo (a) $\displaystyle f(x)=x^2-3x+4$ e $T$ é o ponto de abcissa $1$;

Vídeo (b) $\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}+2x$ e $T$ é o ponto de abcissa $-2$;

Vídeo (c) $\displaystyle f(x)=e^{2x}-x^2$ e $T$ é o ponto de abcissa $0$;

Vídeo (d) $\displaystyle f(x)=x\ln x+2x$ e $T$ é o ponto de abcissa $1$.

 

Vídeo 7.4) Considere a função real de variável real $f$ definida por

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}
{\ln(2-x)} & {{\text{se }}x < 1} \\
{(x+1)e^{-3x}} & {{\text{se }}x \geq 1} \\
\end{array} } \right.\]

(a) Mostre que $f$ não é contínua no ponto $1$.
(b) Estude a diferenciabilidade de $f$ no ponto de abcissa 1.
(c) Caraterize a função derivada de $f$.

    

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