Livro interativo de Geometria no plano e no espaço
2 Produto Interno
2.1 Produto interno numa base ortonormada
|
Teorema Numa base ortonormada o produto interno ou escalar $\vec u\cdot \vec v$ entre dois vetores é dado por \[\vec u \cdot \vec v=u_1v_1+u_2v_2\] quando $\vec u=(u_1,u_2)$ e $\vec v=(v_1,v_2)$ são vetores do plano e por \[\vec u \cdot \vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\] quando $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$ são vetores do espaço. |
Podemos usar o resultado anterior e a definição de produto escalar para determinar a amplitude $\theta$ do ângulo entre dois vetores não nulos $\vec u$ e $\vec v$ já que \[\displaystyle\vec{u} \cdot \vec{v}=\left\| \vec{u}\right\|\times \left\| \vec{v}\right\|\times \cos(\theta)\Leftrightarrow \cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{\left\| {\vec u} \right\| \times \left\| {\vec v} \right\|}}.\]
Exemplo
Considere os vectores $\vec{u}=\displaystyle\left(0,\; 2,\; 0\right)$ e $\vec{v}=\displaystyle\left(0,\; -3,\; -3\,\sqrt{3}\right)$.
Qual é o valor exacto, em radianos, da amplitude do ângulo formado entre os dois vectores?
Seja $\theta$ a amplitude do ângulo formado entre os dois vectores.
Sabemos que $\cos(\theta)=\displaystyle\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left\| \vec{u}\right\|\times \left\| \vec{v}\right\|}.$
Como
$\vec{u} \cdot \vec{v}=\displaystyle\left(0,2,0\right)\cdot\displaystyle\left(0,-3,-3\,\sqrt{3}\right)=\left(0\right)\times\left(0\right)+\left(2\right)\times\left(-3\right)+\left(0\right)\times\left(-3\,\sqrt{3}\right)=-6$
e
$\left\| \vec{u}\right\|=\sqrt{\left(0\right)^2+\left(2\right)^2+\left(0\right)^2}=2$
$\left\| \vec{v}\right\|=\sqrt{\left(0\right)^2+\left(-3\right)^2+\left(-3^{\frac{3}{2}}\right)^2}=6$
então
$\displaystyle\cos(\theta)=\frac{-6}{2\times 6}=-\frac{1}{2}.$ Podemos concluir que $\theta=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\,\pi}{3}$.