Livro interativo de Geometria no plano e no espaço

2 Produto Interno

Já vimos que o comprimento de um vetor $\vec u$ é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor $\vec u$ também é chamado de norma de $\vec u$ e é denotado por ${\left\| {\vec u} \right\|}$. Segue do Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor é dada por
\[\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2} \]
no caso em que $\vec u=(u_1,u_2)$ é um vetor do plano e por \[\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2+{u_3}^2} \]
no caso em que $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ é um vetor do espaço.
Um vetor de norma igual a $1$ é chamado de vetor unitário.

Definição

Designa-se por versor do vetor não nulo $\vec u$ e denota-se por $\hat u$ o vetor \[\hat u = \frac{{\vec u}}{{\left\| \vec u \right\|}}.\]

$\hat u$ é um vetor com a mesma direção e sentido que $\vec u$ e com comprimento $1$.

 

Exemplos:

Dado $\vec u =\left(3,0,-4\right)$, ${\left\| \vec u \right\|}=\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}=5$ e $\hat u=\frac{1}{5}\left(3,0,-4\right)=\left(\frac{3}{5},0,-\frac{4}{5}\right)$.

O ângulo entre dois vetores não nulos, $\vec u$ e $\vec v$, é definido pelo ângulo de amplitude $\theta$ determinado por $\vec u$ e $\vec v$ que satisfaz $0\leq \theta \leq \pi$, quando eles estão representados com a mesma origem. Quando o ângulo entre dois vetores $\vec u$ e $\vec v$ é reto dizemos que os vetores são ortogonais ou perpendiculares entre si.


Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado é um escalar sendo por isso chamado de produto escalar.

Definição

O produto interno de dois vetores não nulos $\vec u$ e $\vec v$ é o número real

\[\vec u \cdot \vec v = \left\| {\vec u} \right\| \times \left\| {\vec v} \right\| \times \cos \theta \]

onde $\theta= \angle ( \vec u,\vec v )$.

Se um dos vetores for o vetor nulo, então $\vec u \cdot \vec v=0$.

 

Proposição

Se $\vec u$ e $\vec v$ são vetores não nulos, então $\vec u \bot \vec v$ se e só se $\vec u \cdot \vec v=0$.

 

Propriedades do produto interno

1.$\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u$ (comutatividade)

2.$(\alpha \vec u) \cdot \vec v=\alpha(\vec u \cdot \vec v)$ (associatividade no produto interno) .

3. $\vec u \cdot(\vec v +\vec w)=\vec u \cdot \vec v+\vec u \cdot \vec w$. (distributividade).