Índice de Análise Matemática

O vídeo seguinte explica o método de primitivação/antiderivação de funções racionais.

Rui

Designa-se por fração racional toda a fração cujo numerador e denominador são constituídos por polinómios, isto é, uma fração do tipo

$\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}$

onde $A(x)$ e $B(x)$ são polinómios em $x.$

Uma fração diz-se própria se o grau do numerador é estritamente menor do que o grau do denominador.

1) Primitivação de funções racionais $\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}$ com grau(A) $\geq$ grau(B) (frações não próprias)

Começamos por fazer a divisão inteira do polinómio $A(x)$ pelo polinómio $B(x),$ obtendo a decomposição

$\displaystyle A(x) = Q(x)B(x) + R(x)$

ou seja,

$\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)}$

em que $Q(x)$ representa o quociente e $R(x)$ é o resto da divisão, portanto, com grau inferior ao de $B(x).$ Assim, a fração $\displaystyle \frac{R(x)}{B(x)}$ é própria.

Exemplo: Decompor a fração $\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2+1}$ na soma de um polinómio com uma fração própria.

Resolução:

Assim, obtemos $\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2+1} = x + \frac{-x-1}{1+x^2}.$

Para visualizar um vídeo com a resolução clique na imagem seguinte.

O polinómio $Q(x)$ é facilmente primitivável e para primitivar a fração própria $\displaystyle\frac{R(x)}{B(x)}$ temos de aplicar as regras 1), 3) ou 11) da tabela de primitivas imediatas ou então, caso $B(x)$ possua mais do que uma raiz real e/ou complexa temos de decompor em frações simples como iremos ver de seguida.

2) Primitivação de funções racionais próprias $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ com grau(P) $<$ grau(Q)

Supondo que $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ é uma fração própria não primitivável por nenhuma das regras 1), 3) ou 11) da tabela de primitivas imediatas.

Começamos por fatorizar o polinómio $Q(x)$ de acordo com as suas raízes e em seguida decompor $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ numa soma de frações mais simples, tendo em conta que

(i) Se $Q(x)$ possui uma raiz real simples $\alpha,$ isto é, na sua decomposição aparece o fator $(x-\alpha),$ então na decomposição da fração aparece a parcela

$\displaystyle \frac{A}{x-\alpha}$

com $A$ uma constante real.

(ii) Se $Q(x)$ possui uma raiz real $\alpha$ com multiplicidade $n,$ i.e., na sua decomposição aparece o fator $(x-\alpha)^n,$ então na decomposição da fração aparece a soma

$\displaystyle \frac{A_1}{(x-\alpha)} + \frac{A_2}{(x-\alpha)^2} + \ldots + \frac{A_n}{(x-\alpha)^n}$

onde $A_1, A_2, \ldots, A_n$ são constantes reais.

(iii) Se $Q(x)$ possui as raízes complexas $\alpha \pm \beta i,$ isto é, na sua decomposição aparece um polinómio da forma $ax^2+bx+c$ com $b^2-4ac <0,$ então na decomposição da fração aparece a parcela

$\displaystyle \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$

onde $A$ e $B$ são constantes reais.

(iv) Se $Q(x)$ possui as raízes complexas $\alpha \pm \beta i$ com multiplicidade $n,$ isto é, na sua decomposição aparece um fator do tipo $(ax^2+bx+c)^n$ com $b^2-4ac<0,$ então na sua decomposição da fração aparece a soma

$\displaystyle \frac{A_1 x + B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2 x + B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \ldots + \frac{A_n x + B_n}{(ax^2+bx+c)^n}$

onde $A_1, \ldots, A_n, B_1, \ldots, B_n$ são constantes reais.

O exemplo multimédia seguinte, exemplifica a decomposição de frações próprias na soma de frações simples.

Depois de ter $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ escrito numa soma de frações mais simples, podemos determinar as constantes através do método dos coeficientes indeterminados. Este método baseia-se no facto de dois polinómios serem iguais se e somente se os coeficientes dos termos com o mesmo grau forem iguais.

Nos exemplos multimédia que se seguem, o leitor pode ver 8 exemplos de primitivação de funções racionais.