Análise Combinatória
Aula 5 e exercícios - Combinações
Aula com exemplos
Exercícios resolvidos
5.1) (IN EXAME) Uma pessoa tem de tomar diariamente, à mesma refeição, $2$ comprimidos de vitamina $C$ e $1$ comprimido de vitamina $A$.
Por lapso, misturou todos os comprimidos no mesmo frasco. Os comprimidos têm igual aspecto exterior, sendo 20 de vitamina $A$ e 35 de vitamina $C$. Ao retirar simultaneamente $3$ comprimidos do frasco, de quantas formas diferentes o pode fazer de modo
(a) a que sejam todos do mesmo tipo de vitamina?
(b) a cumprir as indicações do médico?
Ver vídeo5.2) (IN EXAME) Um quadro de palavras cruzadas, constituído por $5$ linhas e $5$ colunas, tem $9$ quadriculas a cheio. Destas, sabe-se que $5$ ocuparão os $4$ cantos e o quadrado central, podendo os restantes ocupar qualquer outra posição.
(a) Quantos quadros diferentes se podem obter satisfazendo as condições indicadas?
(b) Quantos quadros têm pelo menos uma das diagonais com quadriculas a cheio?
Ver vídeo5.3) (IN EXAME 2002)
Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de $1$ a $9$.
(a) Quantos números:
(i) têm exatamente dois algarismos iguais a 1
(ii) têm os algarismos todos diferentes e são maiores do que 9800.
(b) Considere o seguinte problema:
"De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições seguintes:
- começam por 9;
- têm os algarismos todos diferentes;
- a soma dos quatro algarismos é par.
Quantos são esses números?
Uma resposta correta a este problema é $3\times 4\times {}^4A_2+{}^4A_3$."
Numa pequena composição explique porquê.
Ver vídeo a) Ver vídeo b)5.4)
Considere,
num plano $\alpha$, duas retas paralelas $r$ e $s$.
Assinalam-se, na reta $r$, cinco pontos distintos e, na reta $s$, um certo número $n$ de pontos, igualmente distintos.
Sabe-se que, com os pontos assinalados nas duas retas, é possível definir
exatamente $175$ triângulos.
Determine o valor de $n$.
5.5)
O corfebol é um desporto coletivo misto, com origem na Holanda.
Um clube de corfebol de um certo país vai participar num torneio internacional.
A comitiva vai deslocar-se por via terrestre, utilizando um automóvel de cinco lugares e uma carrinha de nove lugares. A comitiva é constituída por três dirigentes, um treinador, cinco jogadores do sexo masculino e cinco do sexo feminino.
Escreva uma expressão que dê o número de maneiras diferentes de distribuir os catorze elementos da comitiva pelos catorze lugares disponíveis, sabendo-se que os dois condutores são dois dos dirigentes e que, no automóvel, vão dois jogadores de cada sexo.
5.6)
Um saco contém oito bolas azuis e sete bolas brancas, indistinguíveis ao tato. Cada bola tem uma única cor e só existem bolas azuis e bolas brancas no saco.
Pretende-se colocar todas estas bolas em dez caixas numeradas de 1 a 10, de tal forma que:
- cada caixa com número par tenha, pelo menos, uma bola azul;
- cada caixa com número ímpar tenha, pelo menos, uma bola branca;
- cada caixa tenha, no máximo, duas bolas.
| (A) $1176$ | (B) $2520$ | (C) $28016$ | (D) $30550$ |
5.7)
Uma escola secundária tem apenas turmas de 10$.^{\circ}$, 11$.^{\circ}$ e 12$.^{\circ}$ anos.
Uma turma dessa escola tem $26$ alunos, dos quais $15$ são raparigas.
O delegado de turma é um rapaz.
Pretende-se formar uma comissão com três alunos desta turma, para organizar uma festa de fim de ano.
Quantas comissões diferentes, que incluam rapazes e raparigas, se podem formar, sabendo-se que o delegado de turma tem de fazer parte da comissão?
| (A) $195$ | (B) $215$ | (C) $235$ | (D) $255$ |
5.8)
O código de um auto-rádio é constituído por uma sequência de quatro algarismos. Por exemplo, $0137$.
Quantos desses códigos têm dois e só dois algarismos iguais a $7$?
| (A) $486$ | (B) $810$ | (C) $432$ | (D) $600$ |
5.9)
Considere todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos $5$, $6$, $7$, $8$ e $9$.
De entre estes números, quantos têm, exatamente, três algarismos $5$?
| (A) ${}^{5}C_3\times{}^{4}A_2$ | (B) ${}^{5}C_3\times 4^2$ | (C) ${}^{5}A_3\times 4^2$ | (D) ${}^{5}A_3\times{}^{4}C_2$ |
5.10)
De um bilhete de lotaria sabe-se que o seu número é formado por sete algarismos, dos quais três são iguais a $1$, dois são iguais a $4$ e dois são iguais a $5$ (por exemplo: $1551414$).
Determine quantos números diferentes satisfazem as condições anteriores.
5.11)
Uma turma é constituída por $27$ alunos, dos quais $17$ são rapazes. A Maria e o Manuel são alunos dessa turma. A professora de Português vai escolher, ao acaso, um grupo de cinco alunos para definirem as regras de um Jogo de Palavras.
Determine quantos grupos diferentes se podem formar, sabendo que em cada grupo tem de estar, pelo menos, um aluno de cada sexo.
5.12)
Considere o conjunto $A=\{1, 3, 5, 6, 8\}$.
Com os elementos do conjunto $A$, quantos números pares de quatro algarismos se podem formar, que tenham dois e só dois algarismos iguais a $5$?
5.13)
Uma turma do 12$.^{\circ}$ ano de uma Escola Secundária está a organizar uma viagem de finalistas. A turma é constituída por doze raparigas e dez rapazes, que pretendem formar uma comissão organizadora da viagem. Sabe-se que a comissão terá obrigatoriamente três raparigas e dois rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, não querem fazer parte da comissão em simultâneo. Explique, numa composição, que o número de comissões diferentes que se pode formar é dado por: \[{}^{12}C_3\times{}^{10}C_2-{}^{11}C_2\times 9.\]
Ver vídeo5.14)
Dispõe-se de catorze caracteres (a saber: os algarismos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ e as vogais a, e, i, o, u) para formar códigos de quatro caracteres.
Quantos códigos iniciados por uma vogal seguida de três algarismos diferentes se podem formar?
| (A) $420$ | (B) $504$ | (C) $1840$ | (D) $2520$ |