Índice de Análise Matemática

O vídeo seguinte explica o método de primitivação/antiderivação por substituição.

Pode fazer o download da tabela de primitivas por substituição aqui.

Rui

Seja $f:I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função que se pretende primitivar e $x= \phi(t)$ uma função injetiva, ou seja, invertível em qualquer intervalo contido no no seu domínio. Então temos que

Nota: Quando fazemos uma mudança de variável $x=\phi(t)$ então $dx=\phi^\prime(t)\,dt.$ Depois de efetuarmos a mudança de variável o objetivo é calcular a primitiva $G(t) = \int f(\phi(t))\phi^\prime(t)\, dt.$ No final temos sempre que voltar à variável inicial $x$ invertendo a mudança de variável, ou seja, fazendo a substituição $t=\phi^{-1}(x)$ na primitiva final.

A tabela seguinte mostra-nos algumas substituições que devemos usar, com o objetivo de linearizar determinados tipos de funções, ou seja, torná-las em funções facilmente primitiváveis ou em primitivas já conhecidas. Na tabela em baixo, $a,b,c,d$ são constantes reais e a notação $R(...)$ indica que se trata de uma função racional (envolvendo apenas somas, diferenças, produtos, quocientes) do que se encontra entre parêntesis.

Tipo de função	Substituição
1) $R(a^{c_1x},a^{c_2x}, \ldots,a^{c_nx})$	$a^{mx}=t \Leftrightarrow x = \frac{\log_{a}(t)}{m}$ onde $m=m.d.c.(c_1,c_2, \ldots, c_n)$
2) $R(\log_a(x))$	$t=\log_a(x) \Leftrightarrow x =a^t$
3) $R(x,\sqrt{a^2-b^2x^2})$	$x=\frac{a}{b}\sin(t)\,\,$ ou $\,\, x=\frac{a}{b}\cos(t)$
4) $R(x,\sqrt{a^2+b^2x^2})$	$x=\frac{a}{b}\tan(t)$
5) $R(x,\sqrt{b^2x^2-a^2})$	$x=\frac{a}{b}\sec(t)$
6) $R(x,\sqrt{x},\sqrt{a-bx})$	$x=\frac{a}{b}\sin^2(t)$
7) $R(x,\sqrt{x},\sqrt{a+bx})$	$x=\frac{a}{b}\tan^2(t)$
8) $R(x,\sqrt{x},\sqrt{bx-a})$	$x=\frac{a}{b}\sec^2(t)$

Nos exemplos multimédia que se seguem, o leitor pode ver 5 exemplos de primitivação por substituição.