Livro Interativo e multimédia de Cálculo Integral

2 Teorema Fundamental do Cálculo Integral

Pode encontrar na aula seguinte a explicação da matéria.

Teorema fundamental do cálculo integral:

Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$. Então

(i) a função definida por $F(x)=\displaystyle\int\limits_a^x {f(t)\;dt}$ é uma primitiva de $f$ para todo o $x\in [a,b]$, ou seja

\[F'(x)=\left(\int\limits_a^x {f(t)\;dt}\right)'=f(x).\]

(ii) se $F$ é uma primitiva qualquer de $f$ então \[\int\limits_a^b {f(x)\;dx}=F(b)-F(a).\]

Nota:

1) É costume usar-se a notação $\left[ {F(x)} \right]_a^b$ para $F(b)-F(a)$.

2) Na expressão $\displaystyle \int\limits_a^x {f(t)\;dt}$ as letras $x$ e $t$ têm papéis diferentes. Temos uma função de $x$ que será a mesma se substituirmos $t$ por outra letra qualquer $(u,v,\ldots )$. Diz-se que $t$ é uma variável muda pois ela acaba por não aparecer na realidade.

3) A parte ii) do Teorema diz-nos que para calcular a integral definida de uma função, basta procurar uma primitiva da função e avaliá-la nos limites de integração. O integral definido é um número real.


Exemplos:

1)
Aplicando a parte i) do Teorema vem que

$\displaystyle\left(\int\limits_2^x {\ln(t)\;dt}\right)'=\ln(x).$

2)
Como $\displaystyle\int (2x+3)\;dx=x^2+3x+c,\;c\in\mathbf{R}$ então, podemos considerar $F(x)=x^2+3x$ e
$\displaystyle\int\limits_0^2 {(2x+3)\;dx}=\left[x^2+3x\right]_0^2=2^2+3\times 2-\left(0^2+2\times 0\right)=10.$

3) Para calcular a área da região compreendida entre o gráfico da curva definida por $y=3x-x^2$ e o eixo dos $xx$ ilustrada na applet seguinte, podemos inscrever retângulos de largura cada vez menor e somar a medida das suas áreas. Arrastando com o botão esquerdo do rato o seletor relativo ao $n$ pode variar o número de retângulos e concluir que a qualidade da aproximação aumenta com o valor de $n$. É claro que a soma das áreas dos retângulos nunca se ajusta completamente à figura, por mais retângulos que se considerem. Teoricamente falando, seriam necessários infinitos retângulos para o ajustamento ser perfeito. Apresentamos a seguir a solução exata deste problema.

A medida exata da área da região do plano limitada pelo gráfico da função definida por $y=3x-x^2$ e pelo eixo dos $xx$, apresentada no início deste livro interativo como problema de motivação, é dada por:
$\displaystyle\int\limits_0^3 {\left(3x-x^2\right)\;dx}=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{27}{2}-\frac{27}{3}-\left(0-0\right)=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$.


Teorema: (Integração por partes) Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$. Se $F$ é uma primitiva de $f$ em $[a,b]$ e se $g$ é uma função derivável em $[a,b]$ então\[\int\limits_a^b {f(x)g(x)\;dx} = \left[ {F(x)g(x)} \right]_a^b - \int\limits_a^b {F(x)g'(x)\;dx.} \]



Teorema: (Integração por substituição) Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$ e $\phi :\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to \left[ {a,b} \right]$ uma função derivável e injetiva tal que $\phi(\alpha)=a$ e $\phi(\beta)=b$. Então \[\int\limits_a^b {f(x)\;dx} = \int\limits_\alpha^\beta {f(\phi(t))\phi'(t)\;dt}. \]


Convidamos o leitor a consolidar estes conceitos com os exemplos multimédia que se seguem.