Livro Interativo e multimédia de Primitivas

1 Primitivas/antiderivadas e primitivas imediatas

O vídeo seguinte explica o conceito de primitiva/antiderivada e as primitivas imediatas.

As primitivas que se obtém por leitura direta das regras de derivação chamam-se primitivas imediatas. Para as reconhecer com facilidade é imprescindível dominar as regras de derivação. Vejamos três exemplos:

1) Como $(x^2)'=2x \,$ então $\, \displaystyle \int 2x\,dx = x^2 + C;$

2) Como $(\sin(x))'=\cos(x) \,$ então $\, \displaystyle \int\cos(x)\,dx = \sin(x) + C;$

3) Como, para $x>0$, $\displaystyle (\ln(x))'=\frac{1}{x} \,$ então $\, \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln(x) + C.$

Na seguinte tabela de primitivas imediatas $f$ (download do PDF da tabela) denota uma função real de variável real diferenciável e $C$ uma constante real arbitrária. Para demonstrar os resultados apresentados na tabela basta verificar que a derivada de cada uma das primitivas é igual à função correspondente apresentada na coluna da esquerda.

Função

Primitiva

1) $f'f^p $ $ \displaystyle \frac{f^{p+1}}{p+1}+C, \quad p \in \mathbb {R} \backslash \{ -1\}$
2) $f'a^f $ $\displaystyle \frac{a^f}{\ln a} + C, \quad a \in \mathbb{R}^+ \backslash \{ -1\}$
3) $\displaystyle \frac{f'}{f} $ $\ln |f| + C$
4) $f'\cos(f)$ $ \sin(f) + C$
5) $f'\sin(f)$ $-\cos(f) + C$
6) $f' \sec^2(f)$ $\tan(f)+C$
7) $f' \mathop{\rm cosec}^2 (f)$ $ -\mathop{\rm cot} (f)+C$
8) $f' \sec (f) \tan(f)$ $\sec(f) + C$
9) $f' \mathop{\rm cosec}(f) \mathop{\rm cot} (f) $ $-\mathop{\rm cosec} (f)+C$
10) $\displaystyle \frac{f'}{\sqrt{1-f^2}}$ $\arcsin(f) + C \quad$ ou $\quad -\arccos(f) + C$
11) $\displaystyle \frac{f'}{1+f^2}$ $\arctan(f) + C \quad$ ou $\quad - \mathop{\rm arccot}(f)+C$
12) $f'\tan(f)$ $-\ln|\cos(f)| + C$
13) $f' \mathop{\rm cot}(f)$ $\ln|\sin(f)| + C$
14) $f' \sec (f)$ $\ln|\sec(f)+\tan(f)|+ C \quad$
15) $f'\mathop{\rm cosec}(f)$ $\ln|\mathop{\rm cosec}(f) -\mathop{\rm cot}(f)| + C \quad$

Pode fazer o download da tabela de primitivas imediatas aqui.

Propriedades das primitivas/antiderivadas em relação à adição e à multiplicação escalar (linearidade do integral indefinido):

  1. $\displaystyle \int(f(x) + g(x)) dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx;$
  2. $\displaystyle \int(\lambda f(x)\,dx) = \lambda \int f(x)\,dx, \, \, \,$ com $\lambda \in \mathbb{R}.$

Nos exemplos multimédia que se seguem, o leitor pode ver exemplos de aplicação de todas as regras de primitivação imediata apresentadas na tabela em cima.