Livro Interativo e multimédia de Primitivas
4 Primitivas/antiderivadas de potências de funções trigonométricas
O vídeo seguinte explica o método de primitivação/antiderivação de funções trigonométricas.
Pode fazer o download da tabela de primitivas de funções trigonométricas aqui.
Rui
I - Potências de funções trigonométricas
1 - Potências ímpares de $\sin(x)$ ou $\cos(x):$
Destaca-se uma unidade à potência ímpar e o fator resultante passa-se para a co-função através da fórmula fundamental da trigonometria:
$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1.$
2 - Potências pares de $\sin(x)$ ou $\cos(x):$
Usam-se as fórmulas da redução ao cosseno do ângulo duplo:
$\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \qquad \cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x)) .$
3 - Potências de $\tan(x)$ ou $\mathop{\rm cotg}(x):$
Destaca-se $\tan^2(x)$ ou $\mathop{\rm cotg}^2(x)$ e usa-se uma das fórmulas:
$\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \quad$ ou $\quad \mathop{\rm cotg}^2(x) = \mathop{\rm cosec}^2(x) - 1.$
4 - Potências pares de $\sec(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}(x):$
Destaca-se $\sec^2(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}^2(x)$ e ao fator resultante aplica-se uma das fórmulas:
$\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \quad$ ou $\quad \mathop{\rm cosec}^2(x) = 1 + \mathop{\rm cotg}^2(x).$
5 - Potências ímpares de $\sec(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}(x):$
Destaca-se $\sec^2(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}^2(x)$ e primitiva-se por partes começando por esse fator.
II - Produtos de potências de funções trigonométricas
1 - Potência ímpar em $\sin(x)$ por qualquer potência em $\cos(x)$
Destaca-se $\sin(x)$ e o fator resultante passa-se para a co-função através da fórmula:
$\sin^2(x) = 1- \cos^2(x).$
2 - Potência ímpar em $\cos(x)$ por qualquer potência de $\sin(x):$
Destaca-se $\cos(x)$ e o fator resultante passa-se para a co-função através da fórmula:
$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).$
3 - Potência par em $\cos(x)$ por potência par em $\sin(x):$
Aplicam-se as fórmulas:
$\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x); \qquad \sin^2(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x)$;
$ \cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x)).$
III - Produtos em que aparecem fatores do tipo $\sin(mx) \mbox{ e/ou} \cos(nx)$
Aplicam-se as fórmulas:
$\sin(x)\sin(y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y));$
$\cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\cos(x+y)+\cos(x-y));$
$\sin(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y)).$
Nos exemplos multimédia que se seguem, o leitor pode ver 6 exemplos de primitivas de potências de funções trigonométricas.