Livro Interativo e multimédia de Primitivas

4 Primitivas/antiderivadas de potências de funções trigonométricas

O vídeo seguinte explica o método de primitivação/antiderivação de funções trigonométricas.

Pode fazer o download da tabela de primitivas de funções trigonométricas aqui.

Rui

I - Potências de funções trigonométricas

1 - Potências ímpares de $\sin(x)$ ou $\cos(x):$

Destaca-se uma unidade à potência ímpar e o fator resultante passa-se para a co-função através da fórmula fundamental da trigonometria:

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1.$

2 - Potências pares de $\sin(x)$ ou $\cos(x):$

Usam-se as fórmulas da redução ao cosseno do ângulo duplo:

$\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \qquad \cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x)) .$

3 - Potências de $\tan(x)$ ou $\mathop{\rm cotg}(x):$

Destaca-se $\tan^2(x)$ ou $\mathop{\rm cotg}^2(x)$ e usa-se uma das fórmulas:

$\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \quad$ ou $\quad \mathop{\rm cotg}^2(x) = \mathop{\rm cosec}^2(x) - 1.$

4 - Potências pares de $\sec(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}(x):$

Destaca-se $\sec^2(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}^2(x)$ e ao fator resultante aplica-se uma das fórmulas:

$\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \quad$ ou $\quad \mathop{\rm cosec}^2(x) = 1 + \mathop{\rm cotg}^2(x).$

5 - Potências ímpares de $\sec(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}(x):$

Destaca-se $\sec^2(x)$ ou $\mathop{\rm cosec}^2(x)$ e primitiva-se por partes começando por esse fator.


II - Produtos de potências de funções trigonométricas

1 - Potência ímpar em $\sin(x)$ por qualquer potência em $\cos(x)$

Destaca-se $\sin(x)$ e o fator resultante passa-se para a co-função através da fórmula:

$\sin^2(x) = 1- \cos^2(x).$

2 - Potência ímpar em $\cos(x)$ por qualquer potência de $\sin(x):$

Destaca-se $\cos(x)$ e o fator resultante passa-se para a co-função através da fórmula:

$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).$

3 - Potência par em $\cos(x)$ por potência par em $\sin(x):$

Aplicam-se as fórmulas:

$\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x); \qquad \sin^2(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x)$;
$ \cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x)).$

III - Produtos em que aparecem fatores do tipo $\sin(mx) \mbox{ e/ou} \cos(nx)$

Aplicam-se as fórmulas:

$\sin(x)\sin(y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y));$

$\cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\cos(x+y)+\cos(x-y));$

$\sin(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y)).$

Nos exemplos multimédia que se seguem, o leitor pode ver 6 exemplos de primitivas de potências de funções trigonométricas.