Regra de Cauchy

Regra de Cauchy/L'Hôpital

Pode encontrar a explicação da matéria no vídeo seguinte.

É frequente, ao estudar limites, aparecerem expressões indeterminadas. Por exemplo,

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0} \frac{{x}}{{e^x-1}}$

onde a expressão indeterminada é do tipo $\left(\frac{0}{0}\right)$. A Regra de Cauchy (ou Teorema de L’Hôpital) representa um método para fazer desaparecer as indeterminações dos tipos $\left(\frac{0}{0}\right)$ e $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ e calcular limites de uma forma mais eficiente. Outros tipos de indeterminações, como $(0\times\infty)$, $\infty^0$, $\infty -\infty$, $\infty\times\infty$ e $1^\infty$, podem ser resolvidos transformando-os nos tipos abrangidos pelo teorema.

Teorema: (Regra de Cauchy)

Sejam $I$ um intervalo aberto, $c\in I$, $f$ e $g$ duas funções diferenciáveis em $I\backslash \left\{ c \right\}$.
Se $g'(x) \ne 0,\forall x \in I\backslash \{ c\}$ e $\;\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{ x \to c} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ conduz a uma indeterminação do tipo $\displaystyle\frac{0}{0}$ ou $\displaystyle\frac{\infty }{\infty }$ então

\[\mathop {\lim }\limits_{ x \to c} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\mathop {\lim }\limits_{ x \to c} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\]

sempre que o segundo limite exista. O teorema também é válido para limites laterais e para limites no infinito.

Nota:
Para aplicar a Regra de Cauchy devemos começar por verificar a existência de uma indeterminação do tipo $\left(\frac{0}{0}\right)$ ou $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$. É habitual indicar o tipo de indeterminação por cima do símbolo de igualdade. Exemplos: $\mathop = \limits^{\left( {\frac{0}{0}} \right)}$ e $\mathop = \limits^{\left( {\frac{\infty}{\infty}} \right)}$.


Exemplos:
1. $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0} \frac{{3x}}{{1-e^{4x}}}\mathop = \limits^{\left( {\frac{0}{0}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0} \frac{{(3x)'}}{\left(1-e^{4x}\right)'}=\mathop {\lim }\limits_{ x \to 0} \frac{{3}}{{-4e^{4x}}}=-\frac{3}{4}$.

2. $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{ x \to 4^-} \frac{{4-x}}{{x^2-16}}\mathop = \limits^{\left( {\frac{0}{0}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{ x \to 4^-} \frac{{(4-x)'}}{\left(x^2-16\right)'}=\mathop {\lim }\limits_{ x \to 4^-} \frac{{-1}}{{2x}}=-\frac{1}{8}$.

3. $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{ x \to +\infty} \frac{{e^{5x}}}{{x^2}}\mathop = \limits^{\left( {\frac{\infty}{\infty}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{ x \to +\infty} \frac{{\left(e^{5x}\right)'}}{\left(x^2\right)'}=\mathop {\lim }\limits_{ x \to +\infty} \frac{{5e^{5x}}}{{2x}}\mathop = \limits^{\left( {\frac{\infty}{\infty}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{ x \to +\infty} \frac{{\left(5e^{5x}\right)'}}{\left(2x\right)'}= \mathop {\lim }\limits_{ x \to +\infty} \frac{{25e^{5x}}}{{2}}=+\infty$.

4. $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0^+} \left(x\ln(x)\right)\mathop = \limits^{\left( 0\times\infty\right)} =\mathop {\lim }\limits_{ x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\mathop = \limits^{\left( \frac{\infty}{\infty}\right)} \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0^+} \frac{{\left(\ln(x)\right)'}}{\left(\frac{1}{x}\right)'}=\mathop {\lim }\limits_{ x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\mathop = \limits^{\left( {\frac{\infty}{\infty}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0^+} \frac{-x^2}{x}= \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0^+} \left(-x\right)=0$.


Nos exemplos multimédia que se seguem, pode observar mais exemplos de aplicação da Regra de Cauchy.

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